Примеры. 1. Найти частные производные второго порядка:
1. Найти частные производные второго порядка:
а) 
.
Вначале находим частные производные первого порядка, затем искомые частные производные второго порядка.
б) 
.
Последовательно дифференцируя, находим:
.
2. Проверить, что 
для функции:
.
Дифференцируя 
по 
, найдем 
.
Дифференцируя 
по 
, найдем 
. (А)
Дифференцируем в другом порядке, по : 
и 
по : 
(Б)
Сопоставляя (А) и (Б), заключаем, что для данной функции .
3. Проверить, что функция 
удовлетворяет дифференциальному уравнению 
.
Найдем частные производные, содержащиеся в данном уравнении:
; 
Подставляя их в данное уравнение, получим тождество 
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Особые точки
1°. Пусть M и M0 – точки данной поверхности. Проведем прямую MM0. Плоскость, которая проходит через точку M0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей MM0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние MM0.
Поверхность в своей произвольной точке имеет либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Касательная плоскость к поверхности в точке M0 содержит касательные прямые ко всем кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Пусть поверхность задана уравнением 
. Рассмотрим на ней точку 
. Будем предполагать, что 
, 
и 
одновременно не равны нулю. На поверхности через точку 
проведем всевозможные линии L и касательные прямые к этим линиям. Справедлива следующая теорема:
Теорема. Касательные прямые, проведенные к всевозможным линиям поверхности в точке , лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью. Нормальный вектор касательной плоскости 
.
Доказательство.
2°. Нормальюк поверхности в точке M0 называется прямая, проходящая через точку касания M0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
Нормальный вектор касательной плоскости одновременно является и направляющим вектором нормали.
Если поверхность задана уравнением 
, где 
– функция, дифференцируемая в точке 
, касательная плоскость в точке существует и имеет уравнение:
. (1)
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
(2)
Если поверхность задана уравнением и точка лежит на ней, то касательная плоскость к поверхности в точке определяется уравнением:
. (3)
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
. (4)
Равенство нулю в точке касания одной из частных производных, означает, что касательная параллельна той оси, по какой переменной частная обращается в нуль. Например, означает, что касательная плоскость параллельна оси Ох, а нормаль лежит в плоскости 
.
3°. Точки поверхности , в которых одновременно обращаются в нуль все частные производные первого порядка , , , называют особыми. В таких точках поверхность не имеет ни касательной плоскости, ни нормали.
Особые точки плоской кривой (функция одной переменной). Обозначим значения частных производных в особой точке через: 
, 
и 
. Возможны три случая:
1) 
- через особую точку проходит 2 касательных, точка называется узлом.
2) 
- в особой точке нет касательных, точка называется изолированной.
3) 
- или изолированная точка, или точка возврата, или точка самосоприкосновения. В точках возврата и самосоприкосновения существует одна общая касательная к двум ветвям кривой. Чтобы в третьем, сомнительном случае решить вопрос однозначно, нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно малой окрестности исследуемой точки