Примеры. 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали:
1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали:
а) к поверхности 
в точке М(1, 1, 1).
Находим частные производные и их значения в указанной точке касания:
На основе формул (1) и (2) составим уравнения касательной и нормали.
Уравнение касательной плоскости:
Уравнение нормали:
б) к эллиптическому параболоиду 
в точке 
.
Преобразуем уравнение поверхности к виду: 
.
И, обозначив его левую часть через 
, найдем частные производные:
, 
, 
.
Вычислим их числовые значения в указанной точке :
, 
, 
.
Подставляя найденные значения в общие уравнения (3) и (4), получим
- уравнение касательной плоскости:
.
- уравнение нормали к поверхности в этой точке:
.
2. На сфере 
найти точки, где касательная параллельна плоскости 
.
1) Пользуясь общим уравнением (3), составим уравнение касательной плоскости к данной сфере в ее точке 
(координаты которой нам нужно найти):
, , 
- частные производные уравнения сферы.
, 
, 
- их значения в точке касания. Отсюда:
Сократив выражение на 2, и раскрыв скобки, получим:
или 
.
2) Точка сферы должна удовлетворять ее уравнению . Это означает, что 
. Следовательно,
.
3) Воспользуемся условием параллельности искомой касательной к заданной плоскости. Согласно условию параллельности двух плоскостей, коэффициенты при текущих координатах этих плоскостей должны быть пропорциональны:
.
Запишем последние равенства в виде системы уравнений:
(*)
4) Подставим найденные в параметрическом виде (*) координаты точек сферы в ее уравнение:
,
откуда находим, что 
.
5) Подставляя найденные числовые значения 
в (*), найдем координаты искомых точек, в которых касательная плоскость параллельна заданной плоскости:
и 
.
3. Показать, что касательные плоскости к поверхности 
образуют с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.
Уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке 
имеет вид:
.
Эта плоскость на координатных осях отсекает отрезки:
, 
, 
.
Перечисленные отрезки являются взаимно перпендикулярными ребрами тетраэдра, образованного касательной плоскостью и координатными плоскостями. Приняв одно из этих ребер за высоту тетраэдра, найдем, что его объем
, так как точка лежит на данной поверхности. Причем объем не зависит от координат точки касания. Из этого следует, что различные касательные плоскости к данной поверхности образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного, равного, объема.
11. Экстремумы функции нескольких переменных
11.1 Локальный экстремум
Локальный экстремум (т.е. максимум или минимум) для ФНП определяется так же, как и для функции одной переменной.
1°. Функция 
, определенная в некоторой области, имеет локальный максимум в точке 
, если в некоторой окрестности этой точки верно неравенство:
,
и локальный минимум, если выполняется неравенство:
.
Очевидно, что в окрестности точки экстремума приращение функции
сохраняет знак, а именно:
, если - точка максимума
и 
, если - точка минимума.
Для исследования функции на экстремум применяют следующие теоремы.
Теорема 1. (Необходимые условия экстремума). Функция нескольких переменных может иметь экстремум только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которых все частные производные первого порядка одновременно равны нулю или не существуют.
Такие точки будем называть критическими точками.Точки, в которых все частные производные первого порядка одновременно равны нулю, - стационарными.
Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Другими словами, необходимый признак существования экстремума не является достаточным.
Например, для функции 
ее частные производные 
и 
одновременно обращаются в нуль в точке О(0, 0), но:
, а 
,
поэтому в точке О(0, 0) экстремума нет.
Таким образом, для исследования функции на экстремум нужно:
1) найти критические точки (в которых все частные первого порядка одновременно обращаются в нуль или не существуют)
2) исследовать функцию в критических точках, используя достаточные признаки экстремума или определение экстремума (исследование знака приращения функции в критической точке).
Теорема 2. (Достаточные признаки экстремума для функции двух переменных).
Пусть 
- критическая точка функции 
, а сама функция дважды дифференцируема в критической точке. Обозначим:
, 
, 
и 
.
Тогда
1) если определитель 
, то - точка экстремума, причем если
- то точка минимума
- точка максимума:
2) если определитель 
, то функция экстремума в данной точке не имеет;
3) если определитель 
, то для решения вопроса о наличии или отсутствии экстремума в точке требуются дальнейшие исследования, например, по знаку приращения функции 
вблизи этой точки.