Математика как феноман человеческой культуры.Обобщение и абстрагирование как методы развития математической теории. Математика как система моделей
Предмет науки обычно понимают как совокупность, систему тех закономерностей, которые изучаются ею. Строго говоря, математика непосредственно не изучает реально законы развития природы или общества, как, например, физика, химия, биология, история и др. Она помогает в их изучении другим наукам, связывает эти науки, законы, усиливает их. Математика позволяет получать абстрактное знание о законах и процессах, а эти знания затем используют все другие науки. Служение наукам не является единственной функцией математики, ее главной целью. У нее есть свои, важнейшие внутренние цели эволюции. Специфика математического МЕТОДА изучения действительности определяет и особенность критерия истины в математике. В математике критерий истины выступает в своеобразной форме: мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь лишь только на практике, как во многих других науках. Простой факт отсутствия общих точек у двух параллельных прямых нельзя проверить на практике, сколько бы мы не брали точек на этих прямых. Более сложный пример - так называемая функция Дирихле: значение функции для рациональных чисел равно 1, а для иррациональных чисел - 0. Нельзя построить график этой простой по определению функции. Практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины утверждений теоретической математики она обычно не выступает. Только в прикладной математике практика может определять адекватность и эффективность математического аппарата для описания конкретных систем и процессов. При этом практика как критерий адекватности теории не всегда применима. В астрофизике есть математические модели зарождения и эволюции космических систем, которые нельзя проверить на практике, но можно описать проверенными математическими моделями других теорий - скажем, ядерной физики. Деление математики на теоретическую и прикладную хотя и традиционно, тем не менее, как отмечено выше, - часто лишь условное. Математика, наряду с созданием новых теоретических методов решения практических задач, изучает и оттачивает применяемый ею самой инструментарий, развивает математические теории и методы, ищет более широкие и естественные сферы ее применимости, эволюционирует сама для нужд эволюции других наук, которые, в свою очередь, эволюционируют, используя математику. Те достижения математики, которые еще не нашли приложения, развивают внутреннюю сущность и структуру математики и могут обрести в дальнейшем самые неожиданные применения, вплоть до революционных для развития науки и техники. Древнегреческими математиками была создана теория конических сечений, которая была использована лишь через 2000лет, когда Кеплер создавал теорию движения небесных тел. Эта теория, в свою очередь, затем помогла Ньютону создать классическую механику. Математика реализует не только мировоззренческие, но и воспитательные, культурные и эстетические ФУНКЦИИ. Мировоззренческая роль математики состоит, в частности, в том, что она помогает вникать в суть явлений, происходящих в окружающем нас мире, особенно тех, что не лежат на поверхности, выявлять, описывать и исследовать как внешние, так и внутренние связи системы.
Дифференциальные уравнения эволюционных систем различной природы и различного происхождения - часто одни и те же, что демонстрирует общность законов природы, общества, познания. "Не зная математики, нельзя знать ни прочих наук, ни мирских дел. И что еще хуже, люди, в ней не сведущие, не ощущают собственного невежества, а потому не ищут от него лекарства. И напротив того, знакомство с этой наукой подготовляет душу и возвышает ее ко всякому прочному знанию, так что, если кто познал источники мудрости, касающиеся математики, и правильно применил их к познанию прочих наук и дел, тот сможет без ошибок и без сомнений, легко и по мере сил постичь и все последующие науки" (Ф.Бэкон). Воспитательная роль математики состоит, в частности, в том, что ее изучение и применение вырабатывает исследовательский, творческий подход к делу; настойчивость, терпение и трудолюбие; аккуратность; логичность и строгость суждений; умение выделять главное и игнорировать второстепенное, не влияющее на суть проблемы; умение ставить новые задачи и др. Воспитательная функция математики подчинена функциям общечеловеческого воспитания. "Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса. Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а все это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка. Математика полезна тем, что она трудна" (А.Д.Александров). КУЛЬТУРНАЯ роль математики состоит, в частности, в том, что повышение общематематической культуры естественным образом, в соответствии с функциями математики, содействует повышению и профессиональной и общей культуры (мышления, поведения, выбора). Математика - это своего рода особая культура и искусство формализации знаний. "Если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше" (Д.Юнг). Эстетическая роль математики (эстетика - наука о прекрасном) состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, удовольствие и др.). "Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей <...>. Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики" (Г.Х.Харди). Математизация сфер общества - характерная черта нашей эпохи. Математизации подвержены не только естественнонаучные области, но и социально-гуманитарные: история, филология, социология и др. Благодаря математизации развивается язык наук, следовательно, и сами науки. Математика также обогащается новыми идеями и приложениями вследствие этого. Математика широко используется как в традиционных, естественнонаучных, областях (физика, биология, экономика и др.), так и в гуманитарных - истории, лингвистике, психологии, социологии и др. Она образует специальные ветви (математическая физика, математическая биология, математическая экономика и др.) или методы (математические методы лингвистики, социологии и др.). Математизация - существенный фактор прокладывания и укрепления междисциплинарных связей, решения междисциплинарных проблем, проникновения не только в количественно отражаемую сущность явлений, но и в их качественную сущность.