Арифметические свойства предела
Пусть существует 
и 
причем 
тогда при 
Вопрос о существовании предела последовательности часто бывает сложным. Вычисление предела – это раскрытие неопределенности вида: 
и т.д. При этом используются так называемые замечательные пределы:
Непрерывность функции и ее пределы
Приращением функции называется изменение функции при заданном приращении аргумента:
.
Функция f(x) непрерывна в точке x0, если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и приращение функции в этой точке стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента: 
, если 
.
График непрерывной функции можно нарисовать, не отрывая пера от бумаги.
Точка, в которой при стремлении к нулю приращения аргумента приращение функции к нулю не стремится, называется точкой разрыва функции.
Будем считать, что функция f(x) определена во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0 (т.е. в окрестности точки x0), кроме, быть может, самой точки x0.
Число A называется пределом функции y=f(x) при 
, если для произвольного (сколь угодно малого) положительного числа 
существует такое положительное число 
, зависящее от , что для всех точек х из -окрестности точки x0, исключая, быть может, саму точку x0 (т.е. для всех, удовлетворяющих неравенству 
), будет выполняться неравенство 
. Сказанное обозначают как 
.
Запишем определение предела с помощью кванторов:
Число А называют пределом функции f(x) на бесконечности (в бесконечно удаленной точке), если для 
найдется такое М>0, что при x>M выполняется неравенство 
и записывают: 
.
Для исследования поведения функции вблизи некоторых точек полезно знать, к чему стремится f(x), когда 
, оставаясь левее x0 (т.е. при x<x0), и когда 
, оставаясь правее x0 (x>x0). Такие пределы называются левым и правым пределом функции в точке x0 или односторонними пределами. Обозначения: 
и 
.
Предел функции в точке x0 существует, если предел справа равен пределу слева.
Функция y=f(x) с областью определения D называется непрерывной в точке x0, если выполняются следующие три условия:
1. Функция y=f(x) определена в точке x0, т.е. 
;
2. Существует предел функции в точке x0;
3. Предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: 
.
Если в точке x0нарушено хотя бы одно из трех приведенных условий, то точка x0называется точкой разрыва функции y=f(x).
Функция f(x) имеет в точке x0разрыв первого рода, если пределы слева и справа конечны, но не равны друг другу.
Функция f(x) имеет в точке x0разрыв второго рода, если хотя бы один из пределов слева или справа бесконечен или не существует.
Если функция не определена в точке x0или нарушено условие 
, то точка x0называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x).
Пример 5. Найти предел функции 
.
Решение. Вычислим пределы числителя и знаменателя:
Получили неопределенность типа 
. Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:
.
Разделим числитель и знаменатель дроби на (х–2). Это сокращение допустимо, так как при отыскании предела рассматриваются значения х ¹2 (это подчеркивается в определении предела). Тогда:
