Линейная зависимость и независимость системы векторов
- поле скаляров, 
- арифметическое 
- мерное векторное пространство, где 
.
Определение. Пусть 
, 
. Линейной комбинацией векторов 
с коэффициентами 
называется вектор: 
.
Пример. Для векторов 
; 
вычислить линейную комбинацию
.
Определение. Система векторов называется линейно независимой тогда и только тогда, когда для любых скаляров из равенства 
.
Другими словами, система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства линейной комбинации этих векторов нулевому вектору, следует, что все коэффициенты равны числу нуль.
Определение. Система векторов называется линейно зависимой тогда и только тогда, когда существуют , такие, что ( 
) и не все скаляры равны нулю.
Другими словами, система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда существуют скаляры не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с этими коэффициентами равна нулевому вектору.
Из определения следуют два утверждения.
1) Если система векторов не является линейно независимой, то она линейно зависима, и наоборот.
Доказательство. 
зависима.
■
2) Система векторов - линейно зависима тогда и только тогда, когда уравнение имеет ненулевое решение, то есть 
.
Пример 1. Будет ли система векторов 
из 
линейно зависима или линейно независима?
векторы 
линейно независимы.