Системы линейных уравнений. Таблица 1.1. Используемые обозначения
Таблица 1.1. Используемые обозначения
| Обозначение | Наименование | |
| det, | |, Δ | Знаки определителя | |
| detA, |A| | Определитель матрицы A | |
| ( ), || || | Знаки матрицы | |
| A = ||aij|| = (aij), B = |bij|| = (bij), C = ||cij|| = (cij) | Матрицы | |
| aij, bij, cij | Элементы матриц или определителей, находящиеся на пересечении i-й строки и j-го столбца | |
| i-я строка матрицы A | |
| Строка; марица-строка | |
| a1, a2,…, an | Элементы строки
| |
| j-й столбец матрицы A | |
| Столбец; матрица-столбец | |
| b1, b2,…, bn | Элементы столбца
| |
| E | Единичная матрица | |
| A-1 | Обратная матрица | |
| AT | Транспонированная матрица | |
| Aij | Алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A | |
| Mij | Минор элемента aij некоторой матрицы | |
| x, y, z, x1, x2, … | Неизвестные в системе линейных уравнений | |
| b1, b2, … | Свободные члены в системе линейных уравнений | |
| Столбец свободных членов в системе линейных уравнений | |
| Столбец неизвестных в системе линейных уравнений | |
Таблица 1.2. Виды числовых матриц
| Матрица с размерами m´n (произвольная матрица) – прямоугольная таблица чисел, где m - число строк, n - число столбцов | A = 
| ||||||
| Обозначение матрицы, где aij - элемент, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца | A = (aij) = ||aij||, 1£ i £ m, 1£ j £ n | ||||||
| Квадратная матрица порядка n – матрица, у которой число строк равно числу столбцов | A = 
| ||||||
| Элементы, образующие главную диагональ квадратной матрицы | a11, a22, … , ann | ||||||
| Элементы, образующие побочную диагональ квадратной матрицы | a1n, a2,n-1, … , an1 | ||||||
| Матрица-строка: A = (a11, a12, … , a1n) или A = (a1, a2, … , an) | Матрица-столбец: A =  или A = 
| ||||||
| Нулевая матрица | Матрица, все элементы которой равны нулю | ||||||
| Диагональная матрица | Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, т.е. aij = 0 для i ¹ j | ||||||
| Единичная матрица | Диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали, равны 1, т.е. aii = 0 для всех i | ||||||
| Симметричная матрица | Квадратная матрица, у которой aij = aji, т.е. элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой | ||||||
| Треугольная матрица | Квадратная матрица, все элементы которой выше (или ниже) главной диагонали равны нулю. | ||||||
| Вырожденная (особенная) матрица | Квадратная матрица A, определитель которой равен нулю | ||||||
| Невырожденная (неособенная) матрица | Квадратная матрица, определитель которой не равен нулю | ||||||
Таблица 1.3. Некоторые операции с матрицами
| Название и обозначение | Условие, при котором операция выполняется | Результат операции |
| Сложение и вычитание матриц A ± B = C | Слагаемые матрицы имеют одинаковые размеры. | Матрица с теми же размерами, cij = aij ± bij. |
| Умножение матрицы на число l A = B | Для любых матриц. | Матрица с теми же размерами, элементы которой bij =laij. |
Умножение строки на столбец
 = с
| Число элементов строки равно числу элементов столбца. | c = a1b1 + a2b2 +…+ anbn |
| Умножение матриц AB = C с размерами A(m´l), B(l´n) | Размеры перемножаемых матриц согласованы: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. |
Матрица C с размерами (m´n),
cij =  = 
|
| Транспонирование матрицы A = (aij) | Для любых матриц. | Транспонированная матрица AT = (aji), т.е. матрица, полученная из исходной матрицы A путем перестановки индексов ее элементов. |
Примечание. Операции сложения (вычитания) матриц и умножения матрицы на число являются линейными операциями над матрицами.
Таблица 1.4. Свойства линейных операций над матрицами
| Наименование свойства | Формула |
| 1. Переместительное (коммутативное) свойство сложения | A + B = B + A |
| 2. Сочетательное (ассоциативное) свойство сложения | A + (B + C) = (A + B ) + C |
| 3. Сочетательное (ассоциативное) свойство умножения на число | α (βA) = β(αA) |
| 4. Распределительное (дистрибутивное) свойство умножения суммы матриц на число | α (A + B ) = αA + αB |
| 5. Распределительное (дистрибутивное) свойство умножения матрицы на сумму чисел | (α + β)A = αA + βA |
Таблица 1.5. Вычисление определителей
| Поря-док | Обозначение определителя | Метод вычисления |
| n |
|
1) Путем разложения по элементам любой
(i-й) строки или любого (j-го) столбца, соответственно:  или  ,
где Aij = (–1)i+j Mij.
2) С помощью нулей.
|
|
1) По формуле: a11a22 - a21a12.
2) По схематическому правилу:
 
+ -
| |
|
1) По развернутой формуле:
a11a22 a33+ a12 a23a31+ a32a21a13 -
-( a13a31 a22+ a12 a21a33+ a23a32a11)
2) По схематическому правилу (по правилу
треугольников, по правилу Саррюса):
+ -
|
Таблица 1.6. Свойства определителей
| № п/п | Свойства и следствия из них |
| Определитель не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, или, наоборот, столбцы соответствующими строками. Следствие 1. Транспонирование матрицы не изменяет ее определителя. Следствие 2. Строки и столбцы “равноправны“, т.е. любое утверждение для строк справедливо для столбцов. | |
| При перестановке двух строк (или двух столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Следствие 1. Строки (столбцы) “равноправны“ между собой, т.е. любое утверждение для первой строки (первого столбца) справедливо для любой другой строки (любого другого столбца). Следствие 2. Любую строку (или столбец) можно сделать первой. | |
| Определитель с двумя равными строками (или столбцами) равен нулю. | |
| Общий множитель любой строки (или столбца) можно вынести за знак определителя. Следствие. Умножение определителя на число равносильно умножению на это число элементов любой строки или столбца. | |
| Если элементы какой-либо строки (или столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух определителей, у которых все строки (или столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (или столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые. | |
| Определитель не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на любое число. |
Таблица 1.7. Обратная матрица
| Определение | Матрица A-1является обратной матрицей матрицы A, если A-1A = A A-1= E , где E - единичная матрица. | |||
| Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы A-1 матрицы A | det A ¹ 0 | |||
| Определитель обратной матрицы | det A-1 = 
| |||
| Определитель произведения матрицы и ее обратной матрицы | det (A-1 A) = det (A A-1) = det A-1×det A = 1 | |||
| Взаимная обратимость матриц | (A-1)-1 = A | |||
| Вычисление методом присоединенной матрицы | A-1 =  , где  - присоединенная матрица матрицы A; Aij - алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A.
| |||
| Вычисление методом элементарных преобразований | Над строками матрицы A выполняются элементарные преобразования, которые приводят A к единичной матрице E. Тогда эти же элементарные преобразования над строками матрицы E приводят ее к обратной матрице A-1. Элементарные преобразования над строками матриц A и E совмещают, т.е. выполняют одновременно. | |||
Примечание. Только квадратная матрица может иметь обратную матрицу.
Таблица 1.8. Свойства вырожденной квадратной матрицы A
| 1. Определитель матрицы A равен нулю |
| 2. Для матрицы A не существует обратной матрицы |
| 3. Строки матрицы A линейно зависимы |
| 4. Столбцы матрицы A линейно зависимы |
| 5. Ранг матрицы A меньше ее порядка |
| 6. Одно из собственных чисел матрицы A равно нулю |
Примечание. Каждое свойство является необходимым и достаточным условием того, что матрица A является вырожденной.
Таблица 1.9.Свойства ранга матрицы
| 1. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов. |
| 2. Ранг матрицы не меняется при транспонировании матрицы. |
| 3. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. |
| 4. Ранг матрицы не изменяется при удалении нулевой строки или нулевого столбца. |
| 5. Ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырожденную матрицу. |
Таблица 1.10. Системы линейных уравнений
Представление системы линейных уравнений, состоящей из m уравнений с n неизвестными:
|
Однородная система линейных уравнений, состоящая из m уравнений с n неизвестными:
|
Формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными:
xj =  ,
где D = det A - определитель матрицы системы; A = ||aij|| - матрица системы;
Dj - определитель, полученный путем замены j-го столбца матрицы A столбцом
свободных членов.
Примечание. Формулы Крамера справедливы при условии: det A ¹ 0.
|
| Метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными: выполняется серия элементарных преобразований над строками расширенной матрицы A|B, которые приводят к получению единичной матрицы на месте матрицы A или какой-либо подматрицы этой матрицы; полученный результат будет решением (для определенной системы) или общим решением (для неопределенной системы). |
Таблица 1.11. Матричные уравнения
(Системы линейных уравнений, представленные в виде матричных уравнений, и их решения)
| Уравнение | Решение |
| 
|
| 
|
| AX = B | X = A-1B |
| XA = B | X = B A-1 |
| A1X A2 = B | X = 
|
Обозначения:
A, A1, A2 - квадратные невырожденные матрицы;
- матрица-столбец;
 - матрица-строка;
- столбец неизвестных;
 - строка неизвестных;
B – матрица;
X - матрица неизвестных
|
Таблица1.12. Схема исследования системы линейных уравнений
| Система линейных уравнений: A - матрица системы; B - столбец свободных членов; A|B – расширенная матрица; r(A) и r(A|B) - ранги матриц A и A|B; m – число уравнений; n – число неизвестных |
¯ ¯
Неоднородная:
 A|B, B ¹ O
| Однородная: A|O |
……………………………………………………………………………..