Прикладные аспекты теории массового обслуживания
Рассмотренные модели дают методику определения средней длины очереди и среднего времени ожидания для случаев, когда скорости поступления заказов и их обслуживания являются случайными величинами с известными нам законами распределения (в основном, пуассоновским и экспоненциальным). Возможно построение моделей и с другими распределениями вероятностей. Анализ этих моделей гораздо сложнее и его результаты не позволяют получить такой большой объем полезной информации, как в случае моделей пуассоновского типа.
Если издержки, связанные с пребыванием в очереди и обслуживанием, определены, то можно установить и оптимальное отношение между ними. Оптимальный уровень обслуживания выбирается таким образом, чтобы значение суммы прибыли (качества обслуживания), получаемой за счет предоставления услуг, и потерями прибыли (качества обслуживания), обусловленными задержками в предоставлении услуг, было минимальным. Труднее всего количественно определить «цену» ожидания, т.к. связанная с этим потеря потенциальных клиентов не имеет однозначного денежного выражения (хотя оценка простоев оборудования не вызывает серьезных трудностей). Проиллюстрируем прикладные возможности модельного обеспечения задач принятия решений в сфере обслуживания клиентов, рассмотрев два типа стоимостных моделей. Модели первого типа ориентированны на определение оптимальной средней скорости обслуживания при одноканальной системе массового обслуживания, модели второго типа направлены на определение оптимального числа обслуживающих каналов в случае многоканальной системы.
Для определения оптимального значения μ построим стоимостную модель на основе одноканальных моделей 1, 2.
Пусть с1 – затраты на обслуживание одного заказа, отнесенные к единице времени, с2 – обусловленные вынужденным ожиданием потери в единицу времени в расчете на один заказ, тогда С(μ) =с1μ + с2n – суммарные затраты в единицу времени, минимизация которых даст нам оптимальное значение μ*.
Например, для модели 1, применяя (2.6.2), имеем
С(μ) = с1μ + с2λ/(μ – λ),
откуда, приравнивая к нулю первую производную, получаем
μ* = λ + √с2λ/ с1.
В случае модели 2 величина N рассматривается тоже как переменная, оптимальное значение которой (вместе с μ) определяется путем минимизации С(μ,N) = с1μ + с2n+ с3N + с4λPN, где с3 – затраты на оборудование одного места в блоке ожидания, с4 – потери, связанные с потерей потенциального клиента (приведены к единице времени). Подставляя (2.6.5)–(2.6.7), получим довольно сложное уравнение, для решения которого необходимо прибегать к соответствующим численным методам.
Для определения оптимального числа обслуживающих приборов (каналов) суммарный стоимостной показатель, отнесенный к единице времени, задается формулой
С(s) = с1s + с2n(s),
где с1 – отнесенные к единице времени затраты на функционирование одного обслуживающего канала, с2 – как и выше, затраты, связанные с ожиданием. Тогда оптимальное значение s* находится из условия
n(s*) – n(s*+1) ≤ с1/с2 ≤ n(s*–1) – n(s*).
Пример 2.6.7. Пусть заказы поступают на обслуживание со средним числом λ=17.5 заявок в час. Каждое оборудованное обслуживающее место способно удовлетворить в среднем μ=10 заявок в час. Затраты, связанные с добавлением одного обслуживающего места, оцениваются в с1=6 руб. в час. Пусть потери из-за ожидания составляют с2=30 руб. в час. Вычислим по формулам (2.6.11) и (2.6.13) Р0 и n для разных значений s и результаты поместим в таблицу 2.6.2.
Таблица 2.6.2
 s
| Р0 | n | n(s*–1)– n(s*) |
| ∞ | – | ||
| 0.067 | .745 | ∞ | |
| 0.156 | 0.468 | 5.28 | |
| 0.170 | 0.092 | 0.376 | |
| 0.173 | 0.019 | 0.073 | |
| 0.174 | 0.004 | 0.015 |
Следует обратить внимание на то, что n(1)= ∞, так как λ > μ.
Поскольку с1/с2 = 6/30 = 0.2, имеем
n(4) –n(5) = 0.073 ≤ 0.2 ≤ 0.375 = n(3) –n(4).
Следовательно, оптимальное количество моечных мест s*=4.
Можно учесть еще потери, связанные с простоями оборудования, для этого необходимо по формуле (2.6.9) найти вероятности того, что обслуживаются ровно n (n=0,1,2,…< s) автомашин.
Также можно учесть ограничение на вместимость блока ожидания (модель 4), но получаемые стоимостные модели весьма сложны и требуют для своего решения специальных численных методов. При возникновении подобных трудностей, а также в случае невозможности выразить в аналитическом виде характеристики системы массового обслуживания, используют метод статистического моделирования (метод Монте–Карло).
Согласно методу Монте–Карло перебирают (с помощью ЭВМ) все возможные состояния системы с различной интенсивностью и разными законами распределения вероятностей входного и выходного потоков. В результате многократного искусственного воссоздания работы системы рассчитывают характеристики обслуживания, как если бы они были получены при наблюдении над реальным потоком клиентов. Для сложных систем обслуживания метод статистического моделирования оказывается проще аналитического.