Эргодические теоремы для цепей Маркова

Теорема(основная эргодическая теорема). Рассмотрим неразложимую, непериодическую, возвратную цепь Маркова со счётным числом состояний, тогда имеет место равенство

При этих же условиях .

Теорема. Для неразложимой, непериодической, возвратной и положительной цепи Маркова со счётным числом состояний существуют пределы , где и однозначно определяются условиями:

1. –уравнение Колмогорова для финальных вероятностей,

2. –условием нормировки для финальных вероятностей.

Распределение вероятностей называется финальным или эргодическим, а цепь Маркова называется эргодической.

Теорема (альтернативы). Пусть для марковской цепи со счётным числом состояний существуют пределы , при этом выполняется равенство , тогда возможна одна из двух альтернатив: все или .

Если , то набор вероятностей образует единственное стационарное распределение вероятностей состояний цепи Маркова.

Если , то не существует стационарного распределения для рассматриваемой цепи Маркова.

Теорема (эргодическая теорема для цепей Маркова с конечным числом состояний). Для неразложимой непериодической цепи Маркова с конечным числом состояний существуют пределы

,

не зависящие от и удовлетворяющие условию нормировки.

Таким образом, если цепь Маркова неразложимая, непериодическая, возвратная и положительная, то для неё существует стационарное (финальное) распределение вероятностей.

Если для однородной цепи Маркова существуют финальные вероятности, то говорят, что для этой цепи существует стационарный режим функционирования.