Свободные затухающие колебания

 

Реально любое свободное колебание системы является затухающим. Пусть на колеблющееся тело действует сила сопротивления среды, пропорциональна скорости движения тела

,

где r-коэффициент сопротивления среды.

Тогда второй закон Ньютона можно записать как

Разделим обе части равенства на m и обозначим , . Тогда дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний будет иметь вид:

, (1.14)

где х - колеблющаяся величина; β - коэффициент затухания; ω0 - собственная циклическая частота колебаний. Решение уравнения (1.14) будем искать в виде:

(1.15)

Найдя и , подставим в (1.8) и получим:

или

Обозначая , получим: - уравнение гармонических колебаний типа (1.6)

Решением его будет:

(1.16)

Период

Подставляя (1.16) в уравнение (1.15), получим решение уравнения (1.14):

, (1.17)

где

- закон изменения амплитуды со временем t для затухающих свободных колебаний. Скорость затухания определяется коэффициентом затухания:

Отношение двух амплитуд, отличающихся по времени на величину Т, называется декрементом затухания:

Часто используется логарифмический декремент затухания Q

 

,

где τ - время релаксации (время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз), N - число колебаний за время τ.

Логарифмический декремент Q величина постоянная для данной системы. Радиотехнические системы характеризуются также добротностью:

При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, то колебания станут незатухающими. Пополнение энергии может осуществляться за счет периодических толчков извне в такт с собственной частотой системы, тогда достигается механический резонанс. Особый технический интерес представляют устройства, имеющие возможность самой колеблющейся системе управлять этим процессом (анкерный механизм часов, генератор и др.). Такие системы называются автоколебательными.