Використання трендових рівнянь при виявленні тенденції розвитку
Якщо згладжування ряду динаміки не дає можливості виявити тенденцію розвитку або її характер, то відповідь на це питання можна напевне одержати за допомогою аналітичного вирівнювання заданого (вихідного) динамічного ряду методом найменших квадратів.
Метод аналітичного вирівнювання дає змогу не лише виявити тенденцію розвитку, а й кількісно виміряти її.
Під аналітичним вирівнюванням ряду динаміки у статистиці розуміють побудову функції Y = f(t), яка аналітично виражає залежність значень ознаки Y від часу t. Такі функції, а також їх графіки називають трендовими кривими. За допомогою трендової кривої завжди можна виявити основну тенденцію розвитку явища, що вивчається, а також її характер.
Процес побудови трендової кривої складається з двох етапів:
· вибір виду функції f(t);
· обчислення параметрів функції f(t).
Вид функції f(t) можна встановити візуально за кореляційним полем з урахуванням економічної (фізичної тощо) суті явища, що вивчається.
На практиці при виборі виду тренду перевага звичайно віддається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст:
· лінійна – у = a + bt – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середній абсолютний приріст);
· квадратична, або параболічна – y = a + bt + ct 2 – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середня початкова швидкість зростання, с – середній приріст швидкості зростання);
· показникові – y = a·b t – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середній темп зростання).
Після вибору виду залежності її параметри обчислюються за методом найменших квадратів. Цей метод забезпечує такий вибір параметрів тренду, щоб мінімізувати суму квадратів відхилень фактичних значень рівнів ряду від теоретичних рівнів, що розраховані за відповідних значень t.
Найпростішою формулою, що відтворює тенденцію розвитку, є лінійна функція:
Параметри та згідно методу найменших квадратів знаходяться рішенням системи нормальних рівнянь:
, (
де y – фактичні рівні ряду;
t – порядковий номер періоду або моменту часу.
Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Значення умовних періодів t залежать від того, парну чи непарну кількість рівнів має динамічний ряд.
Якщо число рівнів парне (наприклад, 6), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 4.9.1.
Таблиця 4.9.1
Значення параметра t у разі введення умовного нуля для парної кількості рівнів динамічного ряду
| Фактичний період | ||||||
| Умовний період | – 5 | – 3 | – 1 |
Якщо число рівнів непарне (наприклад 7), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 4.9.2.
Оскільки мета введення умовного нуля – максимальне спрощення розрахунків, то відстані між сусідніми рівнями динамічного ряду з умовними періодами мають бути мінімальними, проте однаковими впродовж усього ряду. Таким чином, у разі парної кількості рівнів динамічного ряду відстані між будь-якими двома рівнями з умовними періодами дорівнюють двом; у разі непарної кількості рівнів динамічного ряду відстані між будь-якими двома рівнями з умовними періодами дорівнюють одиниці. Умовні періоди, розташовані ліворуч умовного нуля, набувають від’ємних значень, а ті, що розташовані праворуч – додатних.
Незалежно від кількості рівнів у динамічному ряді з умовними періодами å t = 0, а тому система нормальних рівнянь для лінійної моделі тренду матиме такий вигляд:
. Тоді параметри а0 та а1 для лінійної моделі тренду розраховуються за формулами:
Якщо у трендовій моделі використовуються нелінійні функції, то вони приводяться до лінійного вигляду за допомогою певних математичних перетворень [13, с. 186 – 198; 16, с. 204 – 219].