Потенциальная энергия взаимодействующих частиц

Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц. Обозначим силу, с которой вторая частица действует на первую, символом F12, а силу, с которой первая частица действует на вторую, символом F21 (см. рис. 14.1). По третьему закону Ньютона F12 =–F21. Эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей частицы. Поэтому силу F12 можно представить в виде: F12 = F12e12.

В некоторой инерциальной системе отсчета положение первой частицы определяется радиус-вектором r1 , а второй –r2.

При элементарном смещении частиц от заданного положения силы взаимодействия совершат работу dA, равную:

F12dr1 + F21dr2 = F12(dr1 – dr2) =–F12d(r2 – r1) = –F12dr12 =–F12dr12

Следовательно, dA = –F12dr12 = –dUвз

Выражение F12dr12 можно рассматривать как приращение некоторой функции Uвз(r). Эта функция и представляет собой потенциальную энергию взаимодействия, которая зависит только от взаимного расположения частиц. Вид этой функции можно найти, зная силу F12 взаимодействия частиц. Тогда (Uвз)2 – (Uвз)1 = – .

Распространим полученный результат на систему, состоящую из N частиц.

Для системы, состоящей N из частиц, потенциальная энергия взаимодействия слагается из потенциальных энергий частиц, взятых попарно: Uвз= .

В этом выражении первое слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия первой частицы с остальными, второе слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия второй частицы с остальными, кроме первой, третье слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия третьей частицы с остальными, кроме первой и второй и т.д. Так как (Uik) = (Uki), энергию взаимодействия можно представить в виде: . (14.1)

 

В этой сумме индексы i и k пробегают значения от 1 до N, причем i¹k. Коэффициент 1/2 связан с тем, что энергия каждой пары учитывается дважды, как (Uik) и как (Uki).

Пример

Вычислить потенциальную энергию взаимодействия трех зарядов q1, q2 и q3, которые расположены в вершинах правильного треугольника со стороной а.