Некоторых пространственных кривых и их конструктивные свойства
12.6.1. Цилиндрическая винтовая линия ( гелиса ) ( рис12.50 )
Определение 12.15. Цилиндрической винтовой линией называется траектория
движения образующей точки А, которая вращается вокруг прямой и перемещается вдоль неё пропорционально угловому сме-щению .
Цилиндрическая винтовая линия прина-длежит поверхности прямого кругового цили-ндра. Высота, на которую поднимается или расстояние, на которое перемещается обра-зующая точка вдоль оси цилиндра за один оборот, называется шагом винта.
Гелиса является линией одинакового уклона. Это значит, что полукасательные в её точках одинаково наклонены к плоскости основания цилиндра под углом j° и скрещи-ваются с его осью под постоянным углом y°. То же можно сказать и о бинормалях b, пер-пендикулярных к равнонаклонённым полука-сательным t.
Если взять на оси цилиндра какую-либо точку К и через неё провести прямые, после-
довательно параллельные как полукасате-льным, так и бинормалям, то образуются две соосные конические поверхности, которые называются направляющимиконусами полу-касательных и биномалей.
Что касается нормалей n, то они, будучи перпендикулярными к вертикальным спрям-ляющим плоскостям полукасательных и би-нормалей, горизонтальны и пересекают ось цилиндра под прямым углом.
Будучи горизонтальными, нормали яв-ляются горизонталями соприкасающихся плоскостей, пересекающих ось цилиндра под постоянным углом j°, а его поверхность,- по конгруэнтным эллипсам. При этом точки ге-лисы как вершины сопровождающего трех-гранника Френе, являются концами малых осей эллипсов сечений цилиндра соприкаса-ющимися плоскостями. Эти эллипсы в кон-цах малых осей минимально искривлены, а значит, радиусы кривизны в них будут макси-мальными, бо¢льшими, чем радиус основа-ния цилиндра.
Отсюда следует, что геометрическим ме-
стом центров кривизн или эволютой ци-линдрической винторой линии а является цилиндрическая винтовая линия е, радиус цилиндрической поверхности которой равен
разности величины постоянного радиуса
кривизны линии-эвольвенты а и радиуса цилиндрической поверхности Ф, которой эта линия принадлежит. На рис. 12.50 эволюта е условно не показана.
12.6.2..Коническая винтовая линия (рис.12.51)
Определение 12.16.Конической винто-вой линией называется траектория движе-нияобразующей точки, которая переме-щается по образующей поверхности конуса вращения от его вершины пропорциональ-но угловому смещению этой образующей при её вращении вокруг оси конуса.
Прямая t, касательная к линии а в точке А является гипотенузой прямоугольного тре-угольника А А1 В, общим катетом которого является участок образующей конуса от точки А до точки А1 на его основании, а вто-
|
Рис. 12. 51. Геометрическая модель конической винтовой линии
рой катет равен длине дуги окружности ос- основания конуса от точки N начала линии а на ней до точки А.
Касательная t, подкасательная t1 и образу-
ющая l определяют спрямляющую плоскость
|
Рис. 12.52. Геометрическая модель
закономерных линий, принадлежащих
сферической поверхности
s,наклонённую к плоскости основания кону-- са под постоянным углом j°.
Бинормаль b перпендикулярна к каса-
тельной t и принадлежит плоскости s.
Нормаль n ^s пересекает ось конуса і под углом a° и в паре с касательной t опре-
деляет соприкасающуюся плоскость t, пере-секающую поверхность конуса по эллипсам
с различными значениями большой и малой
осей. Это значит, что радиусы кривизн в то-чках конической винтовой линии как в вер-
шинах сопровождающего трехгранника Фре-
не, не равны расстояниям до оси вращения и поэтому в своей совокупности центры кривизн в этих точках образуют эволюту конического винта в виде конической гели-сы. Эта эволюта лежит на своей «волют-ной» конической поверхности, соосной с данной «эвольвентной» поверхностью Ф.
Радиус её произвольной параллели равен расстоянию до оси вращения точки, удалённой по нормали n на величину раз-ности радиуса кривизны основания нормали и расстояния от этого основания до оси вращения конической поверхности Ф.
12.6.3. Сферическая винтовая линия(рис.13.52)
Определение 12.17.Линия, принадле-жащая сферической поверхности и состав-ляющая постоянный угол с её меридиана-ми, называется локсодромией и является сферической винтовой линией.
Сфера замечательна тем, что все нор-мали к ней проходят через её центр. Это значит, что любая соприкасающаяся плос-кость t, определяемая нормалью n и каса-тельной t, пересечет сферу по окружности большого круга радиуса R.
Отсюда следует, что величина криви-зны сферической поверхности в любой её точке на любой линии есть величина пос-тоянная, равная обратному значению её радиуса.
Так как это значение положительно, то сфера является поверхностью постоянной положительной кривизны, а эволютой лю-бой принадлежащей ей линии будет точка О, - её центр.
Постоянство угла между локсодромией и меридианами сферы определяет посто-янство углов наклона касательной t и бино-рмали b к линии пересечения спрямляющей плоскости s с плоскостью экватора сферы.
Локсодромия применяется в морской и воздушной навигации. Двигаясь по ней из
начального пункта в конечный, судно при—держивается постоянного курса относи-
тельно магнитных меридианов ( при помо-
щи компаса.)
Определение 12.18.Линия на поверх-ности сферы, соединяющая две любые
точки по окружности большого круга, на-зывается ортодоромией или брахисто-хроной и является геодезической (см. рис.12.55 ).
Определение 12.19. Линия на сфери-ческой поверхности, касательные к ко-торой равнонаклонены к плоскости её экватора, называется линией одинаково-го ската или откоса ( см. рис. 12.56).