МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

 

 

1. Частные производные

Пусть x=(x1,x2,…,xm) – внутренняя точка области определения функции u=f(x1,…,xm). Рассмотрим частное приращение этой функции по переменной xk .

 

Определение.Если существует предел отношения при , то этот предел называют частной производной функции f в точке по к-ой переменной и обозначают следующими символами . Таким образом .

Отметим, что частная производная функции f по аргументу xk представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной xk при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисления частных производных производится по обычным правилам вычисления производных функций одной переменной.

Заметим, что из существования у функции в данной точке всех частных производных, вообще говоря, не вытекает непрерывность функций в этой точке.

 

Задание. Привести пример такой функции.

 

2. Дифференцируемость функции многих переменных

 

Рассмотрим приращение (то есть полное приращение) функции u=f(x1,…,xm) в точке , соответствующее приращениям аргументов .

 

Определение. Функция f называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде , (1)

где A1,A2,…,Am – числа, α1,α2,…,αm – бесконечно малые при функции, равные 0 при .

 

Соотношение (1) называют условием дифференцируемости функции f в точке .

Его можно записать в другой форме. Рассмотрим функцию . Заметим, что при при любых i. Поэтому .Следовательно, (2)

Докажем, что из представления (2) вытекает представляет представление (1).

Действительно, .

Полагая и учитывая, что , мы придем к представлению (1). Итак, условия (1) и (2) эквивалентны.

Справедлива следующая теорема.

 

Теорема 1.Если функция f дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные по всем переменным, причем , где Ai – числа из условия (1) или (2).