Элементы теории вероятностей

Основные характеристики и экспериментальный анализ случайных величин

Цель работы: изучение основных понятий теории вероятностей, ознакомление с основными характеристиками случайных величин и возможными способами их экспериментального определения

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

Элементы теории вероятностей

Интегральная функция распределения F(x) случайной величины Х показывает вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого заданного или текущего значения x, т.е. F(x) = Р{Х £ х}. Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины Х заключено между х₁ и х₂, равна разности значений функции распределения, вычисленных в этих двух точках:

P{x₁ < X £ x₂}= F(x₂) – F(x₁). (1.2)

Аналогично

P{X > x} = 1 – F(x). (1.3)

Интегральная функция распределения случайной величины Х обладает следующими свойствами:

1) lim F(x) = F(- ¥) = 0;

2) lim F(x) = F(¥) = 1;

3) F(x) ³ 0;

4) F(x₂) ³ F(x₁), если x₂ > x₁.

Если функция F(x) дифференцируема для всех значений случайной величины Х, то закон распределения вероятностей и может быть выражен в аналитической форме также с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:

(Dx > 0). (1.4)

Таким образом, значение функции приближенно равно отношению вероятности попадания случайной величины в интервал к длине этого интервала, когда – бесконечно малая величина. Поэтому функцию называют также функцией плотности распределения вероятностей (или короче – функцией плотности вероятности).

Отметим основные свойства функции :

1) f(x)³ 0;

2)

3)

4) (z – переменная интегрированная).

С помощью дифференциальной функции распределения вычисляется вероятность нахождения случайной величины в любой области из множества ее возможных значений. В частности,

= (1.5)

Для непрерывной случайной величины вероятность можно определить как относительную долю площади под кривой плотности распределения вероятностей Так, например, вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее а₁, равна относительной доле площади под кривой слева от точки а₁ (рис. 1.2, а); вероятность того, что эта величина Х примет значение, большее а₂, равна относительной доле площади под кривой справа от точки а₂ (рис. 1.2, б); вероятность того, что она примет значение, заключенное между а₁ и а₂, равна относительной доле площади под кривой между точками а₁ и а₂ (рис. 1.2, в).

Как интегральная, так и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими вероятностными характеристиками случайной величины. Однако некоторые свойства случайных величин могут быть описаны более просто с помощью определенных числовых параметров. Наибольшую роль среди них на практике играют два параметра, характеризующие центр рассеяния (центр распределения) случайной величины и степень ее рассеяния вокруг этого центра. Наиболее

Рис. 1.2

а) б) в)

распространенной характеристикой центра распределения является математическое ожидание m_x случайной величины Х (часто называемое также генеральным средним значением):

(1.6)

Степень рассеяния случайной величины Х относительно m_x может быть охарактеризована с помощью генеральной дисперсии :

=

Если все в большей степени концентрируется вблизи m_x, то значения уменьшаются. Если же имеются весьма удаленные от m_x значения случайной величины Х и для них не слишком мала, то дисперсия увеличивается. Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением s_x.

Зачастую для описания практической ситуации оказывается необходимым использования одновременно нескольких (в простейшем случае – двух) случайных величин. Для задания вероятностных свойств двух случайных величин X, Y используются двумерные (совместные) функции распределения вероятностей: интегральная F(x, y) и дифференциальная f(x, y). Функция F(x, y), характеризуется вероятностью того, что первая случайная величина принимает некоторое значение, меньшее или равное x, а вторая – значение меньшее или равное y, называется интегральной функцией совместного распределения двух случайных величин:

F(x,y) = P{X £ x; Y£ y}. (1.8)

Как и для одной непрерывной случайной величины, если функция F(x,y) достаточно гладкая, то ее можно продифференцировать, в результате чего получится двумерная дифференциальная функция распределения вероятностей (двумерная плотность вероятностей):

f(x, y)= (1.9)

Функция f(x, y) обладает следующими свойствами:

1) f(x, y)³ 0;

2)

3)

4) (z₁ и z₂ – переменные интегрированная).

Вероятность того, что случайные величины X, Y одновременно попадут в некоторую произвольную область W, составляет

P{(X,Y)Î W} = (1.10)

В частности,

P{a₁ < X £ a₂; b₁ < Y £ b₂} = .(1.11)

По известной двумерной плотности f(x, y) легко найти частные (одномерные) функции распределения f(x), f(y) каждой случайной величины:

f(x) = f(y) =

Две случайные величины X и Y называются независимыми, если

f(x) f(y). (1.13)

Как и в одномерном случае, основные свойства двумерной совокупности величин X и Y могут быть охарактеризованы с помощью ряда цифровых параметров. При этом в качестве наиболее употребительных параметров, описывающих поведение каждой из случайных величин в отдельности, как и выше, используются математическое ожидание и дисперсия соответствующей случайной величины m_x, m_y, Кроме подобного рода параметров для двумерной совокупности могут быть построены параметры, характеризующие степень взаимозаменяемости переменных X и Y. Простейшими из них являются ковариация двух случайных величин (называемая также корреляционным моментом).

cov(X, Y) = ) f(x,y) dx dy, (1.14)

а также нормированный показатель связи – коэффициент корреляции

r_xy = . (1.15)

По своему физическому смыслу коэффициент корреляции является далеко не исчерпывающей характеристикой статистической связи, характеризующая лишь степень линейной зависимости между X и Y. Коэффициент корреляции меняется в пределах -1 £ r_xy £ 1. Если r_xy = 1, то случайные величины полностью положительно коррелированы, т.е. y = a₀ + a₁ x, где a₀, a₁ – постоянные, причем a₁ > 0. Если же r_xy = -1, то случайные величины полностью отрицательно коррелированы, т.е. y = a₀ - a₁. Если r_xy = 0, то говорят, что случайные величины X и Y не коррелированы: a₁ = 0. В том случае, когда X и Y – независимые случайные величины, для них r_xy = 0; следовательно, они и не коррелированы. Обратное утверждение в общем случае не верно: X и Y могут быть связаны даже функционально и все же иметь нулевой коэффициент корреляции (при этом, конечно, функциональная связь должна быть нелинейной).

Все описанные выше функции и связанные с ними параметры являются теоретическими, характеризующими определенные свойства изучаемого объекта. На практике почти всегда эти характеристики независимы и возникает задача экспериментального (эмпирического) определения тех или иных характеристик случайных величин на основе наблюдений.

12
• 3
• Далее ⇒