Некоторые свойства дифференциала

1. Дифференциал суммы (разности) функций равен сумме (разности) дифференциалов функ­ций.

у = u ± v, dy = du ± dv.

2. Дифференциал произведения двух функций:

у = u * v, dy = vdu + udv.

3. Дифференциал частного двух функций:

y =u/v, dy =( vdu – udv)/v²

4. Дифференциал произведения постоянной величины на функцию.

d(Cy) = Cdy

Неопределенный интеграл

Итак, мы рассмотрели понятие производной, дифференциала, их применение для некоторых конкретных задач. Например: зная путь движе­ния точки можно найти скорость (υ = S`_t = dS / dt). Зная уравнение кривых, можно найти tg α = у_х' в любой точке. Однако часто приходится решать обратную задачу: зная ско­рость, найти путь, зная tg α найти уравнение кривой. Иными сло­вами по производной найти функцию. Практически удобнее отыскивать функцию по ее дифферен­циалу.

Например: Дана производная функции у¹_x=5х⁴ или ее дифференциал dy = 5x⁴dx. Определить саму функцию у = F(x). Та­кую функцию назы­вают первообразной.

Первообразная функ­ция - это функция, кото­рая имеет производную, равную заданной.

Однако для любой функции первообразных бесконечное множество, отличающихся постоян­ной величиной.

Совокупность первообразных F(x) + с, произ­водная кото­рых равна f(x), называется неопре­деленным интегралом и обо­значается:

∫f(x)dx

∫f(x)dx = F(x) + C, если F'_x = f(x)

f(x) - подынтегральная функция

f(x) dx - подынтегральное выражение.

Действия, состоящие в разыскивании неопре­деленного ин­теграла данной функции, называ­ется неопределенным интегри­рованием.

Основные свойства неопределенного инте­грала

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подын­тегральному выражению.

d∫f (x)dx = f (x)dx.

Это свойство следует из определения неопреде­ленного интег­рала.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции ра­вен этой функции, сложенной с произвольной постоянной.

∫dF(x) = F(x) + C

3. Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

∫αf (x)dx = α∫f(x)dx ,α = const

4. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов каждой функции.

∫ [f₁(x)±f₂(x)+..]dx = ∫f₁(x)dx ± ∫f₂(x)dx ±..

Так же как и для определения производной, наиболее часто встречающиеся интегралы, записываются в виде таблиц.

Таблица неопределенных интегралов

1.∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1+C, n ≠ -1

2. ∫dx/x = lnx + C

3. ∫e^x dx = e^x+C

4. ∫sinxdx = - cosx + C

5. ∫cosxdx = sinx + C

6. ∫dx/cos²x = tgx +C

7. ∫dx/sin²x = -ctgx + C

Основные методы интегрирования

1. Метод разложения подинтегралыюй функции на слагаемые.

Пример: ∫ (x + l)(x - 2)dx = ∫ (x²-x-2)dx = ∫x²dx - ∫xdx - ∫2xdx = ∫(x³/3 +C₁) – (x²/2 + C₂) - (2x + C₃) = x³/3 – x²/2 -2x + C, где С = С, - С₂ - С₃.

Определенный интеграл

Задача: Определить площадь S криволинейной трапеции, ограниченную двумя прямыми х = а, х = b, осью абсцисс (у=0) и функ­цией у = f(x). Разобьем интервал [ab] на несколько равных отрез­ков. Площадь указанной фигуры будет равна сумме площадей криволинейных трапе­ций. Приблизительно можно вычислить эту пло­щадь как сумму прямоу­гольников, основанием ко­торых являются приращения аргумента ∆xi, а высотой значения функции в середине отрез­ка приращения аргумента. Обозначим ее f(xi). Аналитически это можно выразить так:

S = f(x₁)∆x₁ +f(x₂)∆x₂+...+ f(x_n)∆x_n = ∑f(xi)∆x_i

Более точно мы определим площадь, если будем разбивать интервал [ab] на большее число отрезков. Тогда ∆x_i → 0. Таким образом, пло­щадь криволинейной трапеции будет равна:

S_жт.Тт = lim_∆x→0∑f(x_i)∆x_i,

где ∑f(x_i)∆x_i - называется интегральной суммой.

Определение: Функция f(x) в некотором интервале от х = а до х = b интегрируема, если существует такое число J, к которому стремится интегральная сумма при ∆х → 0.