Математические модели задач

Введение

Целью проведения лабораторных работ по дисциплине «Информационные системы в экономике» является выработка у студентов навыков решения различных экономических задач с помощью табличной технологии обработки информации. Представленные в методических указаниях задачи оптимизации и прогнозирования часто встречаются в практической деятельности экономистов и являются основой для выполнения таких важных функций управления, как анализ и планирование.

Лабораторная работа № 1.

«Решение с помощью табличного процессора задач оптимизации»

Цель работы

Приобретение навыков построения математических моделей задач линейного программирования и решения их в OpenOffice.org Calc.

Математические модели задач

Существует несколько основных классов задач экономического моделирования, различные формы их постановок с рядом различных рассматриваемых ограничений, направленных на отыскание оптимального решения. Под оптимальным решением может пониматься, например, минимизация общих затрат, связанных с выполнением работ, или максимизация получаемого в результате общего дохода.

Для решения таких задач используются методы математического программирования. Математическое программирование- это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения.

Наиболее простыми и лучше всего изученными среди задач математического программирования являются задачи линейного программирования (ЛП).

Характерные черты задач ЛП следующие:

1) показатель эффективности (целевая функция) L представляет собой линейную функцию, заданную на элементах решения x₁,x₂,...,x_n;

2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Транспортная задача

Одна из наиболее распространенных задач линейного программирования – транспортная задача. В общем виде ее можно представить так: требуется найти такой план доставки грузов от поставщиков к потребителям, чтобы стоимость перевозки (или суммарная дальность, или объем транспортной работы в тонно-километрах) была наименьшей. В простейшем виде, когда распределяется один вид продукции и потребителям безразлично, от кого из поставщиков его получать, задача формулируется следующим образом.

Имеется ряд пунктов производства A₁, A₂, A₃,…, A_m с объемами производства в единицу времени (месяц, квартал), равными соответственно a₁, a₂, a₃,…, a_m, и пункты потребления B₁, B₂, B₃,…, B_n, потребляющие за тот же промежуток времени соответственно b₁, b₂, b₃,…, b_n продукции. В случае, если решается закрытая (сбалансированная) задача, сумма объемов производства на всех m пунктах-поставщиках равна сумме объемов потребления на всех n пунктах-потребителях: . Иначе задача называется открытой. В данной лабораторной работе допускается использование неравенства , т.е. возможны остатки невостребованной продукции на складах поставщиков.

Кроме того, известны затраты по перевозке единицы продукции от каждого i-го поставщика к каждому j-му потребителю – эти величины обозначаются c_ij.

В качестве неизвестных величин выступают объемы продукции, перевозимой из каждого пункта производства в каждый пункт потребления, соответственно обозначаемые x_ij.

Тогда наиболее рациональным прикреплением поставщиков к потребителям будет такое, при котором суммарные затраты на транспортировку будут наименьшими.

При этом каждый потребитель получает нужное количество продукции (первое ограничение) и каждый поставщик отгружает имеющуюся у него в наличии продукцию (второе ограничение). Неравенство во втором ограничении в случае закрытой задачи превращается в равенство.

Как и во всех подобных случаях, здесь также оговаривается неотрицательность переменных: поставка от какого-то пункта производства тому или иному пункту потребления может быть равна нулю, но отрицательной, т.е. следовать в обратном направлении, быть не может, т.е. x_ij >=0 (третье ограничение). Кроме того, так как объемы перевозимой продукции измеряются в единицах продукции, то дробное значение поставок x_ij также недопустимо (четвертое ограничение).

Распределение ресурсов

Суть задачи распределения ресурсов заключается в нахождении оптимального сочетания объемов производства различных изделий в условиях ограничений на ресурсы, из которых эти изделия производятся, приводящего к максимизации прибыли.

Имеется m изделий A₁, A₂, A₃,…, A_m и n ресурсов B₁, B₂, B₃,…, B_n, имеющихся в наличии на складе в количестве b₁, b₂, b₃,…, b_n соответственно. Кроме того, имеется матрица распределения ресурсов x_ij, отражающая расход количества j-го ресурса на производство единицы i-го изделия.

В качестве неизвестных величин выступают объемы производимых изделий a₁, a₂, a₃,…, a_m.

За каждую единицу изделий A₁, A₂, A₃,…, A_m производитель получает прибыль в размере c₁, c₂, c₃,…, c_m.

Наиболее оптимальным сочетанием объемов производства различных изделий будет такое, при котором суммарная прибыль будет наибольшей.

Количество каждого из ресурсов, используемых при производстве изделий, не должно превышать их количество, имеющееся на складе (первое ограничение).

Объемы производимых изделий не могут быть отрицательными и дробными, т.е. a_i >=0 (второе ограничение) и a_i – целое значение (третье ограничение).

График занятости

Суть задачи формирования графика занятости персонала, распределенного по группам, заключается в таком подборе численности сотрудников в каждой из групп, при котором достигается минимизация затрат на оплату труда при удовлетворении потребности в сотрудниках в каждый из дней.

Имеется m дней в смене и n групп сотрудников. Известна потребность в сотрудниках в каждый из дней смены a₁, a₂, a₃,…, a_m. Один сотрудник входит только в одну группу.

Кроме того, имеется матрица распределения рабочих и выходных дней групп x_ij, значениями которой являются 1, если j-ая группа работает в i-ый день, и 0, если не работает.

В качестве неизвестных величин выступает количество сотрудников в группах b₁, b₂, b₃,…, b_n.

Все сотрудники имеют одинаковый размер оплаты труда за смену c.

Наиболее оптимальным распределением сотрудников по группам будет такое, при котором суммарная оплата труда будет наименьшей. По сути, ищется минимальное общее количество сотрудников.

Количество сотрудников, работающих в тот или иной день, должно быть не меньше их требуемого количества в этот день (первое ограничение). Число сотрудников не может быть отрицательными и дробными, т.е. b_j >=0 (второе ограничение) и b_j – целое значение (третье ограничение).

12
• Далее ⇒