Кинематика и динамика колебательного процесса
76. Уравнение точки, участвующей в колебательном движении, имеет вид: х = sin(2πt). Определить: а) амплитуду колебаний, круговую частоту, период и начальную фазу; б) смещение точки в момент времени t = 1/6 с; в) максимальную скорость и максимальное ускорение. Нарисуйте график уравнения, отражающий движение точки. Уточните в учебнике, записях понятия: амплитуда колебания; круговая частота; период колебания; начальная фаза; смещение колеблющейся точки; максимальные скорость и ускорение. Запишите общее уравнение колебательного процесса в аналитической форме; позволит ответить на поставленные вопросы; определять скорость, ускорение через дифференцирование (производную). Спрашивать не запрещено, но приветствуется. Удачи.
77. Подставка совершает в горизонтальном направлении гармонические колебания с периодом 5 с. Находящееся на подставке тело начинает по ней скользить, когда амплитуда колебаний подставки достигает 0,5 м. Определить коэффициент трения между телом и подставкой. Сделайте чертёж. Учтите, колебательный процесс предполагает повторяемость, изменение направления движения; проведите горизонтальную линию – поверхность, по которой подставка с телом совершает периодическое движение влево, вправо. Выберите на этой линии точку; будем считать это устойчивым состоянием подставки, равнодействующая равна нулю; сместите подставку, например, вправо, на расстояние соответствующее амплитуде колебаний; естественно, придётся преодолевать силу, например, деформируемой пружины; нарисуйте справа от подставки деформированную пружину. На подставку действует сила сжатой пружины, периодическая; достигнув состояния равновесия, где сила деформированной пружины равна нулю, но скорость максимальная, тело, двигаясь по инерции, уже растягивает пружину; отобразили это на чертеже? Находящееся на подставке тело будет повторять движение подставки, если отсутствует проскальзывание, то есть сила трения между телом и подставкой обеспечит необходимое изменение скорости. Запишите в аналитической форме кинематическое и динамическое уравнения движения: уравнение колебаний и второй закон Ньютона, поскольку тело движется с подставкой только за счёт силы трения; именно сила трения сообщает телу на подставке необходимое ускорение; придётся брать вторую производную от уравнения движения. Удачи в преобразованиях. Спрашивать не запрещено, приветствуется.
78. Определить амплитуду колебания ножки звучащего камертона с частотой 400 Гц, если максимальная скорость движения конца ножки равна 2,8 м/с. Отобразите на графике х(t) движение ножки камертона; достаточно одного периода. Запишите уравнение кинематики для колебательного движения. Уточните понятия: амплитуда колебания, смещение точки; скорость, максимальная скорость. Преобразуйте. Придётся воспользоваться математическими понятиями: первая производная, вторая производная. Спрашивайте, помогут. Удачи.
79. Тело на пружине жесткостью 103 Н/м совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости. Найти: величину максимальной силы, действующей на тело со стороны пружины и максимальное ускорение, если амплитуда колебаний равна 2 см и тело совершает десять колебаний за сорок секунд. Сделайте чертёж пружинного маятника; нашли в учебнике, записях. Уточните понятия: квазиупругая сила и ускорение; представьте их в аналитической форме; не забудьте записать уравнение кинематики колебательного процесса, поскольку придётся искать вторую производную. Удачи в преобразованиях. Спрашивайте.
80. Материальная точка колеблется по закону синуса. Амплитуда колебаний равна 10 см, круговая частота 3 с–1. Определить максимальную скорость и максимальное ускорение колеблющейся точки. Запишите уравнение колебательного процесса, не забывая про условие задачи. Нашли обозначение известных величин и представили их в Дано? Записали в символическом представлении величины, которые необходимо найти? Придётся уточнить из математики понятия первой и второй производной и их физический смысл. Удачи. Вопросы приветствуются.
81. Определить величину деформации пружинки под действием неподвижно висящего на ней груза. Период малых колебаний груза на этой пружине равен 0,6 с. Сделайте чертёж: ломаная линия отображает пружину, верхняя часть которой прикреплена к потолку, а к нижней части прикреплён груз. Отобразите силы, действующие на груз, с учётом условия задачи и запишите аналитически эту ситуацию (условие равновесия). Уточните аналитическую запись периода колебаний пружинного маятника. Два уравнения – динамическое и кинематическое позволяют найти ответ Удачи. Ваши вопросы не остаются без ответа.
82. Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки 20 см/с, амплитуда колебаний 5 см. Определить период колебаний. Представьте колебательный процесс в аналитической форме (уравнение колебаний); нашли? Нашли обозначение известных величин и записали их в Дано? Представили через символы величины, которые нужно найти? Уточните понятия: амплитуда, смещение; скорость, максимальная скорость; из математики вспомните или найдите понятия первой и второй производной и их физический смысл. Удачи в преобразованиях. Вопросы приветствуются. Ответят.
83. К закреплённому вертикально в штативе динамометру подвесили груз. При этом груз начал колебаться с частотой 5 Гц. На сколько растянется пружина динамометра после прекращения колебаний груза? Сделайте чертёж: ломаная линия отображает пружину; верхняя часть её прикреплена к потолку, нижняя – к грузу. Отобразите силы, действующие на груз, с учётом условия задачи; уточните понятие «период, частота малых колебаний», их связь с параметрами колебательной системы; запишите это в аналитической форме – получили систему из двух уравнений: динамического и периода (частоты) колебаний. Удачи в преобразованиях. Трудно, спросите. Ответят, это точно.
84. Определить период колебаний математического маятника длиной 0,2 м, находящегося на ракете, взлетающей с поверхности Земли вертикально с ускорением 10 м/с2. Сделайте чертёж: уточните понятие «математический маятник»; представьте его выведенным из состояния равновесия; покажите возвращающую силу, действующую на него. Периодически повторяющееся движение возможно в системе взаимодействующих тел, как минимум двух. Поскольку ракета взлетает с ускорением (отобразили на чертеже?), система неинерциальная; в силе, возвращающей тело в первоначальное положение, это должно быть учтено; на рисунке отобразили? Результирующая сила сообщает телу ускорение, которое лучше найти через вторую производную от уравнения колебательного движения. Итак, во втором законе динамики причиной является сила тяжести и сила инерции (не забудьте, тело выведено из состояния равновесия); последствием – движение с ускорением в колебательном процессе. Удачи в преобразованиях. Спрашивайте, ответят.
85. Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение точки равно 4 см, а скорость 10 см/с. Определите амплитуду и начальную фазу колебаний, если их период равен 2 с. Отобразите на чертеже колебание, например, математического маятника; желательно представить максимальное отклонение от положения равновесия. Укажите (примерно) смещение, где находится точка по условию задачи, и направление скорости. Не забудьте ввести обозначения в символическом представлении максимального отклонения, смещения, скорости. Запишите уравнение гармонического колебательного процесса; найдите уравнение скорости (через производную). Система уравнений позволяет: найти начальную фазу, если правильно понять «в начальный момент времени»; максимальное отклонение от положения равновесия, если учесть тригонометрическое соотношение sin2α + cos2α = 1. Удачи в преобразованиях. Вопросы приветствуются.
86. К пружине прикреплён груз. Зная, что максимальная кинетическая энергия колебания груза равна 1 Дж, найти коэффициент жесткости пружины. Амплитуда колебаний 5 см. Колебания происходят в горизонтальной плоскости без трения. Сделайте чертёж: горизонтальная линия отображает поверхность стола, на котором находится груз; к грузу прикреплена пружина – ломаная линия в горизонтальном направлении; отобразите отклонение от положения равновесия, равное амплитуде. Уточните: зависимость периода колебаний от параметров системы, не забывая, что это пружинный маятник; аналитическую запись кинетической энергии колеблющегося груза. Проанализируйте систему на предмет решаемости – число уравнений и неизвестных величин. Удачи. Спрашивайте, ответят. Вопросы радуют.
87. Точка совершает гармонические колебания с периодом 0,314 с и амплитудой 20 см. Найти величину скорости точки в момент, когда смещение точки из положения равновесия равно 10 см. Отобразите на рисунке колебательный процесс, записав уравнение гармонического колебания; догадались, синусоида (косинусоида). Уточните понятия смещение и скорость при колебательном процессе; уравнение смещения позволяет получить уравнение скорости, через производную; записали их как систему уравнений, начальную фазу возьмите равной нулю (найдите в тексте слова, позволяющие это решение принять). Преобразуйте уравнения так, чтобы справа остались лишь тригонометрические выражения. Догадались, чему равна сумма квадратов синуса и косинуса? Удачи в преобразованиях. Спрашивайте, ответят.
88. Тело совершает гармонические колебания с частотой 5 Гц. Определить время, за которое тело пройдёт расстояние от положения равновесия до точки, соответствующей половине максимального смещения из положения равновесия. Сделайте рисунок: например, колебание математического маятника; покажите максимальное отклонение от положения равновесия; не забудьте указать точку, где должно находиться тело по условию задачи; в «Дано» запишите его значение. Представьте колебательный процесс в аналитической форме – уравнение колебательного движения; периодических функций в математике две, выберите, что Вам ближе; не забудьте учесть начальную фазу. Запишите уравнение колебаний для момента времени равного нулю (найдите в тексте слова, которые позволяют это выполнить); поскольку есть начальная фаза, определитесь, чему она должна равняться, чтобы выполнялось условие задачи (нашли в тексте?). Запишите ещё раз уравнение колебаний, только для того смещения, которое указано в условии задачи (нашли в тексте?). Первое уравнение позволяет определиться в начальной фазе, второе – даёт ответ на вопрос. Удачи в преобразованиях.
89. Маятник установлен в кабине автомобиля, движущегося прямолинейно со скоростью 72 км/ч. Определить частоту колебаний маятника, если за время, в течение которого автомобиль проходит 200 м, маятник совершает полных 25 колебаний. Сделайте рисунок: прямая линия отображает дорогу, по ней движется автомобиль; на автомобиле математический маятник, например. Запишите уравнения колебательного (смещение обозначьте символом х) и поступательного движений (путь – символом s). Уравнение пути позволяет отыскать период (частоту) колебаний. Спрашивайте, ответят.
90. Точка совершает гармонические колебания с периодом 6 с. За какое время скорость точки меняется от максимального значения до половины максимального значения? Сделайте рисунок: например, колебание математического маятника; отобразите точки, где скорость максимальная или минимальная (учебник). Не забудьте указать (приблизительно) точку, где скорость, по условию задачи, имеет половинное значение от максимальной величины; в «Дано» записали это значение. Представьте колебательный процесс в аналитической форме – уравнение колебательного движения; периодических функций в математике две, выберите, что Вам ближе; не забудьте учесть начальную фазу (можно не учитывать). Уточните понятие скорости, уравнение колебательного движения позволяет найти уравнение скорости (через производную). Запишите уравнение скорости для момента времени равного нулю (найдите в тексте слова, которые позволяют это сделать); если есть начальная фаза, определитесь, чему она должна равняться, чтобы выполнялось условие задачи (нашли в тексте?). Запишите ещё раз уравнение скорости, только для той точки, которая указана в условии задачи (нашли в тексте?). Первое уравнение позволяет определиться в начальной фазе (если её учитывали), второе – даёт ответ на вопрос. Удачи в преобразованиях.
91. Один математический маятник совершает 25 полных колебаний за 5 секунд, а второй – 18 колебаний за 6 секунд. Найти отношение длины первого маятника к длине второго. Сделайте рисунок для каждого маятника; введите обозначения, их придётся нумеровать; в «Дано» должно быть прописано. Уточните: понятия период и число полных колебаний, частота колебаний; зависимость периода колебаний от параметров колебательной системы, запишите его аналитическое выражение; также сгодится связь периода колебаний со временем, затраченным на совершение полного числа колебаний. Получили систему из двух уравнений. Удачи в преобразованиях. Спрашивать не запрещено.
92. Амплитуда незатухающих колебаний точки струны равна 1мм, частота 1 кГц. Определить путь, пройденный точкой за 1,5 с. Сделайте рисунок: прямая горизонтальная линия, закреплённая по бокам, совершает колебания. Отобразите на рисунке отклонение от положения равновесия; можно пунктирной линией. Уточните понятие пройденного пути при колебательном процессе; удобнее это осознать, если рассмотреть движение точки струны из состояния равновесия, например, вверх, затем обратно (вниз, колебания), пройдя состояние равновесия максимально вниз, снова вверх, в состояние равновесия; далее начинается повторение в движении; на рисунке отобразили? Сколько получилось амплитуд в одном полном колебании? Осталось уточнить число полных колебаний за указанное время; для этого указана частота в условии задачи. Уточните связь периода колебаний с частотой и выразите полное число колебаний. Удачи. Спрашивать приветствуется.
93. Скорость звука в воде равна 1450 м/с. Найти минимальное расстояние, на котором находятся точки, совершающие колебания в противоположных фазах, если частота колебаний равна 725 Гц? Сделайте рисунок: прямая горизонтальная линия – направление распространения колебаний в среде; уточните в учебнике, лекции понятие волны. Нарисуйте её: по вертикали – отклонение от положения равновесия, по горизонтали – распространение колебаний. Не забывайте, периодических функций в математике две. Отметили на чертеже две точки в противоположных фазах (противоположно направленное движение), о которых идёт речь в условии задачи? Запишите уравнение волны для первой и второй точек. Находите разность фаз (что является аргументом тригонометрической функции). Если проявился знак минус, подумайте над этим. Удачи в преобразованиях. Спрашивать не запрещено, ответят.
94. На горизонтальной подставке совершающей колебания в вертикальном направлении лежит груз. Период колебаний равен 0,4 с. При какой максимальной амплитуде колебаний груз не будет отрываться от поверхности подставки? Сделайте чертёж: вертикальная пружина, к ней снизу прикреплен груз; груз слегка толкнули, в системе – пружина (жёсткость)-груз (масса) начались колебания. Уточните смысл глагола «не отрывается»; сделайте символическую запись этого смысла; если потребуется, сделайте ещё три рисунка: груз в состоянии равновесия; максимальное отклонение вниз; максимальное отклонение вверх; не забудьте отобразить направление сил. Сил две: упругости и тяжести; каково должно быть соотношение ускорений; отобразите их направление на рисунке. Не забудьте про колебательный процесс. Это позволит найти аналитическое выражение для ускорения, создаваемого силой упругости; лучше через производную. Кстати, можно воспользоваться тем, что система неинерциальная. Итак, уравнений два: равенство последствий действующих сил; период колебаний системы. Удачи в преобразованиях, спрашивать приветствуется.
95. Длина одного из математических маятников на 1,5 см больше длины другого. В то время как первый маятник делает 7 колебаний, второй делает на одно колебание больше. Определить период колебаний второго маятника. Сделайте рисунок для каждого маятника; введите обозначения, придётся нумеровать; в «Дано» должно быть прописано.Уточните понятия: период и число полных колебаний, частота колебаний; зависимость периода колебаний от параметров заданной колебательной системы. Запишите его аналитическое выражение;сгодится связь периода колебаний со временем, затраченным на совершение полного числа колебаний; получили систему из двух уравнений. Первое уравнение ориентирует на то, что маятник большей длины имеет больший период колебаний. Записали это уравнение для обоих маятников; опять получили систему из двух уравнений. Записываем для обоих маятников аналитическое выражение, отражающее зависимость периода колебаний от времени, затраченного на совершение полного числа колебаний. Получили ещё одну систему из двух уравнений. Найдите отношение периодов колебаний для обеих систем.Удачи в преобразованиях. Не потеряйте в преобразованиях заданную разность длин математических маятников. Спрашивать не запрещено. Приветствуется.
96. Написать уравнение движения, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковым периодом Т = 8 с и одинаковой амплитудой А = 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями φ2 – φ1 = π/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю. Сделайте рисунок колебаний в осях (х,t); представьте их в аналитическом виде. Запишите сумму этих колебаний (найдите в тексте слова, подтверждающие это действие): как левых, так и правых частей аналитического уравнения. Преобразуйте, не забывая, чему равна сумма синусов (косинусов); в учебнике по математике нашли? Удачи в преобразованиях. Приветствуются вопросы.
97. Найти разность фаз Dφ колебаний двух точек, отстоящих от источника колебаний на расстояниях ℓ1 = 10 м и ℓ2 = 16 м. Период колебаний Т = 0,04 с; скорость распространения колебаний u = 300 м/с. Уточните понятие волны; представьте рисунок распространяющегося в среде колебательного процесса в осях (х,ℓ); отметьте на рисунке указанные точки. Запишите в аналитической форме колебательный процесс в точках ℓ1 и ℓ2. Уточните понятие «фаза колебания» и запишите разность фаз. Удачи. Спрашивать не запрещено, поощряется.
98. Мальчик несёт на коромысле вёдра с водой, период собственных колебаний которых 1,6 с. При какой скорости движения вода начнёт особенно сильно выплёскиваться, если длина шага мальчика 60 см? Сделайте рисунок: коромысло на плече мальчика; вместо мальчика треугольник, на острие которого опирается коромысло. От треугольника вниз отрезок, небольшой (туловище); от отрезка идут в разные стороны две линии (ноги), опирающиеся в поверхность Земли. Уточните для себя, от чего зависит период колебаний коромысла с вёдрами: не обойтись без упругих свойств коромысла и массы воды в вёдрах. Записали период упругих колебаний. Уточните понятие скорости, запишите аналитическое выражение. Осталось принять решение, какое время от периода колебаний учитывать в выражении скорости. Обосновали для себя, что возьмёте? Удачи. Спрашивать приветствуется.
99. Определить потенциальную энергию математического маятника с массой 20 г в положении, соответствующем углу отклонения нити от вертикали на 10о, если частота колебаний маятника равна 0,5 с–1. В положении равновесия потенциальную энергию маятника считать раной нулю. Сделайте рисунок: математический маятник в положении равновесия (учебник посмотрели); отклоните маятник от положения равновесия; лучше показать пунктиром (что, решите сами). Уточните понятие потенциальной энергии, запишите её аналитическое выражение. Задача сводится к отысканию высоты, на которую поднимается маятник, участвуя в колебательном процессе (в поле тяжести Земли). Найдите проекцию нити отклонённого маятника на положение равновесия (перпендикуляр на нить в состоянии равновесия), что позволит найти высоту поднятия в поле Земли. Длину нити можно найти из формулы периода колебаний математического маятника, нашли в учебнике. Удачи в преобразованиях. Спрашивать приветствуется.
100.Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдёт вторую половину этого пути? Сделайте рисунок: математический маятник отклонён от положения равновесия на половину амплитудного значения; ниже второй рисунок, маятник отклонён на максимальное значение (амплитудное). Запишите уравнения колебания для каждого положения, что позволит найти время прохождения первой половины пути и время прохождения максимального отклонения. Разность между ними позволяет найти время прохождения второй половины пути. Потребуется уравнение периода колебаний математического маятника через параметры колебательной системы: длина маятника, ускорение свободного падения. Вопросы приветствуются. Удачи в преобразованиях. Решение не единственное.