Геометричні характеристики плоских перерізів
При розрахунках на міцність та жорсткість при розтязі та зсуві використовувалась одна характеристика плоского перерізу – площа. У випадку згину та кручення міцність деталей залежить не тільки від площі перерізу, а також від її форми. Тому нам потрібні знання деяких інших геометричних характеристик перерізів.
Статичними моментами перерізу (фігури) (рисунок 5.1) відносно осей 
і 
називають інтеграли виду
; 
; (5.1)
За аналогією з відомою теоремою теоретичної механіки про момент рівнодіючої сили можна записати
; 
, (5.2)
де 
– координати центра ваги перерізу, звідки
; 
. (5.3)
Якщо осі координат проходять через центр ваги перерізу, вони мають назву центральних.
Статичні моменти перерізів відносно центральних осей дорівнюють нулю.
Осьовими моментами інерції перерізу (фігури) (рисунок 5.1) відносно осей і називають інтеграли виду
; 
. (5.4)
Полярний момент інерції перерізу (фігури) (рисунок 5.1)
(5.5)
де 
– відстань елементарної площи до початку координат.
Внаслідок того, що 
, з (5.4) і (5.5) витікає
. (5.6)
Відцентровий момент інерції перерізу (фігури) (рисунок 5.1)
. (5.7)
Головними осями інерції 
і 
перерізу називаються такі осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю ( 
). Осьові моменти інерції 
, 
відносно головних осей мають екстремальні значення.
Якщо початок головних осей збігається з центром ваги перерізу, то осі мають назву головних центральних. У випадку наявності у фігури осей симетрією головні центральні осі збігаються з ними.
Визначимо моменти інерції круглого перерізу (рисунок 5.2)
;
. (5.8)
У нашому випадку
. (5.9)
6 Розрахунки на міцність при деформації “кручення”
Кручення – це один з простих видів навантаження (деформування) бруса, при якому у поперечному перерізі бруса діє тільки внутрішній крутний момент ( 
). Брус, навантажений крутним моментом, називають валом (незалежно від форми перерізу).
Розглянемо задачу кручення круглого вала (рисунок 6.1) з геометричної, статичної та фізичної сторін.
Теоретичні і експериментальні дослідження деформації кручення круглого вала дають підстави прийняти таку геометричну модель (рисунок 6.1 а):
1 Вісь вала при крученні залишається прямолінійною.
2 Поперечні перерізи вала, плоскі до деформації, залишаються в своїй площині і лише повертаються навколо осі вала. Таким чином, відстані між поперечними перерізами вала у процесі деформації не змінюються.
3 Радіуси перерізу залишаються при крученні прямолінійними.
Рисунок 6.1 – Модель кручення круглого вала
Кручення у відповідності з цією моделлю подається як результат зсувів, визначених взаємним обертанням перерізів. Кут закручення 
вважаємо лінійною функцією , тобто погонний (відносний) кут закручення 
не змінюється по довжині вала:
. (6.1)
Прямолінійна твірна 
(рисунок 6.1 а), нанесена на поверхні вала, перетворюється у гвинтову лінію 
. Для неї відносний зсув (кут зсуву)
. (6.2)
Якщо уявно вирізати циліндр радіуса , то твірна 
на його поверхні перетворюється у гвинтову лінію 
. При закрученні на той же кут 
дуга 
менша, ніж дуга 
, тому і відносний зсув буде меншим:
. (6.3)
Рівняння (6.3) встановлює закон зростання кутових деформацій 
пропорційно відстані від осі вала. Це ключове рівняння для геометричної сторони задачі кручення.
Розглянемо статичну сторону задачі. Зробимо переріз на довільній відстані від затиснення (рисунок 6.1 а). При зсуві в поперечних перерізах вала виникають тільки дотичні напруження. Виділимо на перерізі (рис. 6.1, б) нескінченно малу площадку 
на відстані від осі вала. Дотична сила 
, яка діє на цій площадці, створює відносно осі вала елементарний момент 
. Повний момент внутрішніх сил (внутрішній крутний момент)
. (6.4)
У цьому рівнянні шуканою величиною є закон розподілу дотичних напружень 
, а момент 
вважаємо вже визначеним за зовнішніми навантаженнями з умов рівноваги відрізаної частини вала.
Фізична сторона задачі представлена законом Гука при зсуві
. (6.5)
З розв’язувальної системи рівнянь (6.3) – (6.5) після підстановки (6.3) у (6.5), а потім у (6.4) маємо з урахуванням (6.1) і (5.8)
, (6.6)
звідкіля отримає розрахункову формулу для погонного кута закручення:
, (6.7)
де добуток 
називається жорсткістю при крученні.
Повний кут закручення
. (6.8)
Якщо вал має декілька ділянок, що відрізняються розмірами перерізів і значенням крутного моменту, то повний кут закручення дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручення окремих ділянок.
Після підстановки (6.7) у (6.3), а потім у (6.5) отримаємо загальну формулу дотичних напружень у довільній точці перерізу закручуваного вала:
(6.9)
Таким чином, дотичні напруження при крученні зростають за лінійним законом пропорційно відстані точки перерізу від осі вала, згідно з епюрою (рисунок 6.1 б). В точках, однаково віддалених від осі, напруження рівні за величиною, а спрямовані перпендикулярно радіусу-вектору даної точки.
Максимальні напруження діють у найвіддаленіших від осі точках перерізу, при 
:
, (6.10)
де 
– полярний момент опору.
Умова міцності при крученні
, (6.11)
де 
– допустиме напруження при крученні; 
.
При необхідності перевіряють також умову жорсткості вала
, (6.12)
де 
– допустимий погонний кут закручення.
В цих формулах внутрішній крутний момент у довільному перерізі дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх крутних моментів, розташованих з однієї сторони від перерізу.
В якості приклада використання отриманих залежностей нижче наведено приклад інженерного розрахунку гвинтових циліндричних пружин, які широко розповсюджені у техніці (ресорах вагонів, в клапанах, інших механізмах сучасних транспортних засобів).
Розглянемо пружину (рисунок 6.2 а), виготовлену зі стального круглого прутка; 
– осідання пружини під дією сили 
. Розрахункові параметри: 
– діаметр прутка; 
– середній діаметр витків; 
– кількість витків.
Згідно з методом перерізів, розглядаючи рівновагу верхньої частини пружини (рисунок 6.2 б), визначаємо внутрішні силові фактори: поперечну силу 
та крутний момент 
. Звідки випливає, що у поперечному перерізі витка діють тільки дотичні напруження зсуву та кручення.
Насправді, при цьому ми нехтували малими за величиною подовжньою силою та згинальним моментом. Помилка при такому розрахунку буде тим більша, чим більше кут підйому витка 
.
Максимальні сумарні напруження діють у крайній точці перерізу витка на внутрішньому радіусі пружини.
(6.13)
де 
– індекс пружини.
 |
Рисунок 6.2 – Розрахункова схема циліндричної гвинтової пружини
Аналіз свідчить, що напруження зсуву 
складають лише 
від напружень кручення 
і можуть при грубих розрахунках не враховуватися.
Більш точний результат дає формула, яка враховує кривизну витків за допомогою спеціального поправочного коефіцієнту 
; тоді формулу для розрахунку пружини на міцність можна записати у вигляді
. (6.14)
При визначенні осідання 
пружини будемо враховувати тільки кручення витого прутка, бо інші види деформування вносять дуже малий вклад. Скористаємось енергетичним підходом, згідно з яким робота зовнішньої сили на осіданні переходить у потенційну енергію деформованої пружини, яка дорівнює роботі крутного моменту 
на куті закручення прутка (рисунок 6.3).
 |
Запишемо потенційну енергію з урахуванням формули (6.8) для , величини крутного моменту , довжини прутка 
та формули (5.8) для 
:
. (6.15)
. (6.16)
Після підстановки виразів для 
і у (6.15) та деяких скорочень отримаємо остаточну розрахункову формулу для осідання пружини
. (6.17)
З (6.17) можливо підібрати такі параметри пружини, щоб отримати для заданого навантаження бажане осідання пружини.
7 Розрахунки на міцність при “згинанні”
Згин – це один з простих видів навантаження (деформування) бруса, при якому у його поперечному перерізі діє внутрішній згинальний момент ( 
), внаслідок чого вісь бруса викривляється.
Брус, що працює на згин, називається балкою.
Згин може виникати під дією зовнішніх поперечних сил (зосереджених або розподілених по довжині бруса) та моментів пар сил (рисунок 7.1).
 |
Рисунок 7.1 – Приклади розрахункових схем балок при згині
Розрізняють
· чистий згин ( 
, 
);
· поперечний згин ( , 
).
Якщо площина дії згинального моменту (силова площина) проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу бруса, згин називається плоским прямим. При цьому викривлена вісь бруса буде плоскою кривою, яка розташована в силовій площині.
Якщо навантаження не лежать в одній силовій площині, то і викривлена вісь бруса буде просторовою кривою. У такому разі маємо складний просторовий згин. Таку схему навантаження можна розглядати як суперпозицію двох плоских прямих згинів, для чого усі навантаження треба розкласти на складові по головних осях інерції перерізу.
Балки мають опори. Розрізняють три типа опор:
1 шарнірно-рухома (рисунок 7.2 а) накладає заборону тільки на переміщення вдовж зв’язку (або перпендикулярно опорній поверхні); єдина опорна реакція діє у цьому ж напрямку; опора допускає переміщення вдовж опорної поверхні та поворот балки відносно закріпленої точки (шарніра);
2 шарнірно-нерухома (рисунок 7.2 б) допускає тільки поворот балки; реакція цієї опори має дві складові 
та 
;
3 жорстке затиснення (рисунок 7.2 в) виключає можливість переміщень та повороту балки. Реакції затиснення – , та реактивний момент 
.
Рисунок 7.2 – Типи опор балок
Статично-визначенні балки мають число невідомих реакцій, яке дорівнює числу рівнянь рівноваги. Цій умові відповідають балки з однією шарнірно-рухомою і однією шарнірно-нерухомою опорами (рисунок 7.1 а), а також консольні балки (рисунок 7.1 б).
Розрахунки на міцність та жорсткість при згині починаються з того, що для заданої розрахункової схеми складають рівняння рівноваги та визначають опорні реакції.
Потім застосовують метод перерізів. Змінюючи поточну координату вдовж осі балки, аналізують закономірності, за якими змінюються внутрішні силові фактори – поперечна сила 
та згинальний момент 
, та будують їх епюри – графіки та .
З рівнянь рівноваги будь-якої частини балки, відокремленої уявним перерізом витікають наступні практичні правила підрахунку та .
Внутрішня поперечна сила чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх сил, що діють на відокремлену частину балки.
Внутрішній згинальний момент чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів від навантажень, прикладених до відокремленої частини балки, відносно головної центральної осі 
перерізу.
Рисунок 7.3 – Правила знаків для 
і 
Правило знаків для : при підсумовуванні сила враховується як додатна, якщо вона намагається повернути відокремлену частину балки відносно перерізу за стрілкою годинника (рисунок 7.3 а).
Правило знаків для : момент враховується як додатний від тих навантажень, які згинають балку опуклістю вниз (рисунок 7.3 б).
Важливу роль у теорії згинання мають диференційні залежності між згинальним моментом поперечною силою і розподіленим навантаженням, які були встановлені професором Журавським.
(7.1)
(7.2)
Отримані диференціальні залежності використовуються для контролю правильності побудови епюр.
Переходимо до визначення нормальних напружень при чистому згинанні. Для їх визначення використовують такі залежності:
, (7.3)
де – радіус кривизни нейтрального шару,
– відстань від нейтрального шару.
, (7.4)
де добуток 
– жорсткість при згинанні.