ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ, ЗАДАНИХ НЕЯВНО

4.1. Рівняння задає неявно функцію , на інтервалі , якщо для всіх виконується рівність .

Для обчислення похідної функції треба продиференціювати по тотожність , пам'ятаючи, що є функція від , а потім отримане рівняння розв’язати відносно .

4.2. Приклади. а) Знайти значення у точці для функції, заданої неявно рівнянням .

Розв’язання. Диференціюючи по обидві частини даного рівняння та вважаючи при цьому, що є функцією від , одержуємо:

,

звідки: .

Знаходимо значення у точці :

.

б) Знайти величину кута між дотичними, проведеними в точках перетину кривої з віссю . Зробити креслення.

Розв’язання. За аналогією з попереднім прикладом, знаходимо:

(*)

Точки перетину даної кривої із прямою знаходимо з розв’язку наступної системи:

Таких точок дві: і .

Враховуючи, що , , знаходимо згідно з (*) кутовий коефіцієнт дотичної до даної кривої в точці А:

.

Аналогічно знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної в точці В:

.

Кут задовільняє рівності , отже , звідки 126055.

Перш ніж зробити креслення, перетворимо початкове рівняння кривої у рівняння , що визначає коло із центром у точці та радіусом (рис. 4.3).

Рис. 4.3

 

Завдання 4. Знайти значення у точці для функцій, заданих неявно.

 

1. 5x2+ 3xy – 2y2 + 2 = 0 M (0; 1)
2. x3 – 2x2 + y2 = 0 M (1; 1)
3. x2 + xy + y2 = 7 M ( –1; –2)
4. 2x3 – xy + y – 2 = 0 M (1; 5)
5. x3 + y3 – 3xy + 1 = 0 M ( –2;1)
6. 3x2 – xy + y – 3 = 0 M (1; –2)
7. x2 + 2y2 + 6x – 4y – 13 = 0 M (1; –1)
8. 3x2 – 5y2 – 6x – 20y + 25 = 0 M (2; 1)
9. 4x2 + y2 + 8x – 4y + 3 = 0 M (0; 1)
10. x3 – 2x2 y2 + 5x + y – 5 = 0 M (1; 1)
11. 2x2 – 9y2 + 4x + 18y + 11 = 0 M (2; –1)
12. x3 – xy + y + 7 = 0 M ( –1; –3)
13. x2 + y2 – 4x – 10y + 19 = 0 M (3; 2)
14. x4 – y2 – y – 1 = 0 M (1; 0)
15. x3 + 2xy2 + y + 11 = 0 M ( –1; –2)
16. x3 + x2y + y2 –13 = 0 M (1; 3)
17. x3 + 5xy + y3 – 7 = 0 M (1; 1)
18. x2 + 5xy + y2 – 2x + y – 6 = 0 M (1; 1)
19. 3x2 – xy + y3 – x = 0 M (0; 2)
20. x 6 + y 6 – 2xy = 0 M (1; 1)
21. x 2 +x2 y – y2 – y = 0 M (1; 1)
22. x4 – 6x2y2 + 9y2 – 5x2 + 15y2 + 4 = 0 M (2; 1)
23. 7x2 + xy – y3 + 3 = 0 M (1; –2)
24. x2y2 + xy + x2 – 7 = 0 M (1; 2)
25. 2x5 + y5 – 2xy + 26 = 0 M (1; –2)
26. x5 + y5 – 2xy = 0 M (1; 1)
27. 3x2 – xy + y 2 + x – 34 = 0 M ( –2; 4)
28. x2 + 2xy2 + 3y4 –6 = 0 M (1; –1)
29. x2 – x2 y + y 2 = 13 M ( –1; –3)
30. x2 y2 – 4y3 – x = 4 M (0; –1)

Завдання 5. Знайти величину кута між дотичними, проведеними в точках перетину кривої з віссю . Зробити креслення.

1. x 2+ y 2 + 2x + 2y –3 = 0. 2. x 2 + y 2 – 2x + 4y –3 = 0.
3. x 2 + y 2 + 10x + 9 = 0. 4. x 2 + y 2 + 6x + 6y + 8 = 0.
5. x 2 + y 2 + 4x + 2y + 3 = 0. 6. x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0.
7. x 2 + y 2 + 6x – 6y + 8 = 0. 8. x 2 + y 2 + 4x – 4y + 3 = 0.
9. x 2 + y 2 + 6x + 2y + 1 = 0. 10. x 2 + 6x + y 2 – 2y + 1 = 0.
11. x 2 + 10x+ y 2 – 6y +16 = 0. 12. x 2 + y 2 + 14x + 40 = 0.
13. x 2 + y 2 – 6x – 2y + 6 = 0. 14. x 2 + y 2 – 10 x+ 9 = 0.
15. x 2 + y 2 + 10x + 6y + 16 = 0. 16. x 2 + y 2 – 4x + 2y + 3 = 0.
17. x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0. 18. x 2 + 6x + y 2 – 2y + 6 = 0.
19. x 2 + y 2 – 4y – 4 = 0. 20. x 2 – 6x + y 2 – 6y + 8 = 0.
21. x 2 + y 2 – 14x + 40 = 0. 22. x 2 + y 2 – 2x + 6y – 6 = 0.
23. x 2 + y 2 – 6x + 6y + 8 = 0. 24. x 2 + y 2 – 6x + 2y + 1 = 0.
25. x 2 + 4x + y 2 – 2y + 3 = 0. 26. x 2 + 4x + y 2 + 2y – 4 = 0.
27. x 2 + y 2 + 4x – 4 = 0. 28. x 2 + y 2 + 2x – 2y – 4 = 0.
29. x 2 + 4x + y 2 – 2y – 3 = 0. 30. x 2 + y 2 + 2x + 4y – 4 = 0.

ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ

5.1.При розкритті невизначеностей , крім класичних методів обчислення границь, у багатьох випадках можна користуватися правилом Лопіталя: якщо або й існує границя відношення їх похідних , то .

Це правило справедливе й у випадку, коли .

Приклад 1. Застосовуючи правило Лопіталя, знайти границі:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. Переконавшись, що має місце випадок або , застосовуємо правило Лопіталя.

а) ,

б) .

Тут двічі було застосовано правило Лопіталя й використана перша чудова границя.

в) .

5.2. При розкритті невизначеностей для застосування правила Лопіталя, початковий вираз необхідно перетворити до невизначеностей виду або шляхом алгебраїчних перетворень.

Приклад 2. Знайти границі: а) ; б) .

Розв’язання: а) Маємо невизначеність . Наведемо цю невизначеність до невизначеності , а потім застосуємо правило Лопіталя:

.

б) Маємо невизначеність . Перетворимо початковий вираз до невизначеності , після чого застосуємо правило Лопіталя: .

5.3. При розкритті невизначеностей , , рекомендується знайти попередньо границю логарифма шуканої функції.

Приклад 3.Обчислити .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Введемо позначення , тоді . . Одержали , застосовуємо правило Лопіталя: . Тому що . Отже .

 

Завдання 6.Обчислити границі, використовуючи правило Лопіталя.

1. а) , б) .
2. а) , б) .
3. а) , б) .
4. а) , б) .
5. а) , б) .
6. а) , б) .
7. а) , б) .
8. а) , б) .
9. а) , б) .
10. а) , б) .
11. а) , б) .
12. а) , б) .
13. а) , б) .
14. а) , б) .
15. а) , б) .
16. а) , б) .
17. а) , б) .
18. а) , б) .
19. а) , б) .
20. а) , б) .
21. а) , б) .
22. а) , б) .
23. а) , б) .
24. а) , б) .
25. а) , б) .
26. а) , б) .
27. а) , б) .
28. а) , б) .
29. а) , б) .
30. а) , б) .

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Берман Г.Е. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Сравочник по математике для инженеров и студентов ВУЗов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
3. Бубняк Т.І. Вища математика: Навчальний посібник. – Львів: «Новий світ-2000», 2004. – 434 с.
4. Вища математика: Підручник: У 2 кн. – 2-ге вид., перероб. і доп. – К.: Либідь, 2003. – Кн. 1. Основні розділи / Г.Й. Призва, В.В. Плахотник, Л.Д. Гординський та ін.; за ред. Г.Л. Кулініча. – 400 с.
5. Вища математика. Основні означення, приклади і задачі. Ч. 1, 2. – К.: Либідь, 1992. – 349 с.
6. Глушков П.М., Шунда Н.М. Диференціальне числення фукнцій однієї змінної. – К.: Вища шк., 1991. – 343 с.
7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1,2 – М.: Высш. шк., 1980. – 320 с.
8. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966. – 269 с.
9. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков.: Изд-во ХГУ, 1967. – 236 с.
10. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1969. – 123 с.
11. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1986. – 296 с.
12. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1969. – 350 с.
13. Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая математика. Ч.1, 2. – К.: Вища шк., 1987, 1989. – 551 с.
14. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, 2. – М.: Наука, 1982. – 294 с.
15. Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1987. – 320 с.