Применение первой производной к исследованию графика функции

.

4.15.1Признаки возрастания и убывания функции.

Если первая производная у ¢( х) > 0 на интервале ( а,b ), то функция у(х) возрастает на этом интервале.

Если первая производная у ¢(х) < 0 на интервале ( а,b), то функция у(х) убывает на этом интервале.

 

Необходимое и достаточное условия экстремума

Необходимое условие экстремума функции: Теорема Ферма. Если точка х0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то у¢(х) = 0 .

Экстремум функции – это либо максимум функции, либо минимум функции. Касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс.

Достаточное условие экстремума функции:

Если производная у¢ при переходе через точку х0 меняет знак с «+»на«-», то точка х0 является точкой максимума.

Если производная у¢ при переходе через точку х0 меняет знак с «-» на

«+», то точка х0 является точкойминимума.

Если знак производной не меняется, то функция в точке не имеет ни максимума ни минимума.

Точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует ( то есть стремится к бесконечности), называются критическими точками первого рода.

4.15.3. Первое правило нахождения экстремумов

1. Найти производную f ¢(х).

2. Найти действительные корни уравнения f ¢(х) = 0.

3. Расположить корни уравнения х1, х2 … хn в порядке возрастания на числовой оси, в результате ось разобъется на интервалы. В каждом интервале определить знак производной.

4. Выяснить какие корни являются точкой максимума, точкой минимума и какой корень не является точкой экстремума.

5. Найти значения функции в точках экстремумов.

 

Применение второй производной к исследованию графика

Функции

 

4.16.1. Второе правило нахождения экстремумов

1. Найти производную f¢ (х).

2. Найти корни уравнения f ¢(х) = 0 ® х1 , х2 ,…

3. Найти вторую производную f ² (х).

4. Если f ² (х1) < 0 , то в этой точке максимум,

f ² (х1) > 0, то в этой точке минимум,

f ² (х1) = 0, то нужно обращаться к первому правилу.

 

Выпуклость и вогнутость кривой

Если вторая производная у¢¢(х) > 0 на интервале ( а, b). то график функции у(х) является вогнутой кривой на этом интервале, то есть он расположен выше любой касательной, проведенной к графику функции в точках этого интервала.

Если вторая производная у¢¢(х) < 0 на интервале ( а,b), то график функции у(х) является выпуклой кривой на этом интервале, то есть он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику функции в точках этого интервала.

Точка, в которой вторая производная у¢¢(х) = 0 и при этом вторая производная меняет знак при переходе через эту точку, называется точкой перегиба графика функции.

Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует (то есть стремится к бесконечности), называются критическими точками второго рода.

 

Пример 4 Для выполнения контрольного задания №2

Исследовать функцию у = х2 – 16х на максимум и минимум с помощью первой производной, исследовать функцию на выпуклость и вогнутость

с помощью второй производной функции.

 

Решение

1. Найти производную данной функции:

у ¢ = 2х – 16

2. Приравнять производную к нулю и найти корни (критические точки) уравнения: у ¢= 0, 2х – 16 = 0, отсюда х = 8. Для удобства вынесем множитель 2:

2( х – 8) = 0.

3. Выясним, как производная меняет знак при переходе через точку х = 8

Возьмем значение х < 8, например, 7 и подставим в уравнение и найдем знак производной. Знак производной получился « - ». Значит, функция убывает при х<8.

Возьмем значение х > 8, например, 9 и подставим в уравнение и найдем знак производной, Знак производной получился «+». Значит, функция возрастает при х>8.

Производная меняет знак с « - » на «+» (с минуса на плюс), следовательно функция имеет минимум в точке х = 8.

4. Найдем минимальное значение функции в критической точке:

у = 82 – 128 = 64 – 128 = - 64.

Точка минимума функции (8, - 64) является вершиной параболы, а ветви параболы направлены вверх.

5. Найдем производную второго порядка, для этого продифференцируем первую производную, которая равна у ¢= 2х -16. у ¢¢ = 2. Вторая производная больше нуля, следовательно график функции является вогнутой кривой при всех значениях х.

 

4.17. Уравнениякасательнойинормали

Уравнениекасательной к данной кривой у = f(х), проходящей через точку на ней М (х1, у1) имеет вид:

у – у1 = f ¢ (х1) (х – х1),

где угловой коэффициент k1 в точке х1 равен производной функции в этой точке.

Нормалью к кривой у = f(х) в данной её точке М(х11) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания М. Угловой коэффициент в уравнении нормали к кривой имеет вид:

k2 = -

 

4.18. Асимптотыкривой

Прямая y=kx + b называется наклонной асимптотой кривой y =f(x) при х ® +¥, если

( f (x) – kx –b) = 0

 

Отсюда, k = , b = .

Если k = 0, то уравнение асимптоты имеет вид: у = b (горизонтальная асимптота).

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если односторонние пределы функции в этой точке равны бесконечности. Обычно это точки разрыва второго рода.

 

4.19. Общаясхема исследования функций

 

1. Найти область определения функции;

2. исследовать функцию на четность и нечетность;

3. исследовать функцию на периодичность;

4. исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва. Для этого приравнять знаменатель к нулю, найти значения х, при которых знаменатель обращается в ноль. В этих точках график функции терпит разрыв.

5. найти критические точки первого рода. Для этого найти первую производную, приравнять её к нулю, решить уравнение и найти действительные корни уравнения;

6. найти интервалы монотонности и экстремумы функции. Для этого методом проб определяются знаки производной в каждом из интервалов;

7. найти критические точки второго рода. Для этого найти вторую производную и приравнять её к нулю. Из этого уравнения находят критические точки второго рода. Кроме этого находят еще критические точки, где вторая производная не существует

8. найти интервалы выпуклости и точки перегиба. Для этого определяют знак второй производной в каждом интервале.

9. найти асимптоты графика функции. Для этого по формулам находят коэффициенты уравнения асимптоты, затем строят линии асимптот.

10. найти точки пересечения с осями координат;

11. построить график функции.

Контрольное задание №2

14 вариантов

Найти производные от произведения двух функций и записать

дифференциалы:

 

1. y = х2 sin x 8. у = sin x cos x

2. y = x3 ×cosx 9. y = e х sin x

3. y = x× tgx 10. y = lnx× sin x

4. y = x5 ex 11. y = 2 х ×cos x

5. y = x2 ×lnx 12. y = eх ×cosx

6. y = x 3 2х 13. y = tgx× eх

7. y = x2 ×ctgx 14. y = 3х × eх

 

Найти производные частного двух функций :

1. у = sinx/ x2 8. y = sinx/cosx

2. y = cosx/ x3 9. y = cosx/sinx

3. y = tgx/ x 10. y = e x / sinx

4. y = ex / x3 11. y = 3 x / cosx

5. y = 2 х / x 12. y = tgx/ 2x

6. y = lnx/ x3 13. y = x 4 / 2 x

7. y = x5 /sinx 14. y = x/ sinx

 

Найти скорость и ускорение прямолинейного движения материальной точки в момент времени t:

1. S = 3t + t3 + 7 t = 3 8. S = 2t3 + 4t2 + 5 t = 1

2. S = 4 + 2t + t4 t = 1 9. S = 3t2 + t3 + 6 t = 2

3. S = 9 + 3t + 2t3 t = 3 10. S = 3t3 + 4t2 + 5 t = 1

4. S = 8 + t2 + 2t3 t = 2 11. S = 5t2 + 2t3 + 9 t = 2

5. S = 9 + 2t2 + t3 t = 2 12. S = 4t2 + 8 + t3 t = 3

6. S = 5t2 + 4t3 t = 3 13. S = t3 + 9 + 3t2 t = 2

7. S = 7 + t3 + 5t2 t = 4 14. S = t4 + 8 + 4t t = 2

 

Исследовать функцию на экстремум, исследовать функцию на точки перегиба:

 

1. у = (х + 2)2 (х – 4)

 

2. у = (х + 3)2 (х - 6)

 

3. у = (х + 4)2 (х – 5)

 

4. у = (х + 1)2 (х - 5)

 

5. у = (х - 5 )2 (х + 1)

 

6. у = (х + 2)2 (х – 7)

 

7. у = ( х – 2)2 (х – 5)

 

8. у = (х -7)2 (х + 2)

 

9. у = (х + 5)2 (х – 4)

 

10. у = (х – 8)2 (х + 1)