ТЕМА 3. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
Задача 1. На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за месяц:
| Доход, у.е. | до 300 | 300-500 | 500-700 | 700-1000 | более 1000 |
| Число рабочих |
С вероятностью 0,950 определить:
1) среднемесячный размер дохода работников данного предприятия;
2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход более 700 у.е.;
3) необходимую численность выборки при определении среднемесячного дохода работников предприятия, чтобы не ошибиться более чем на 50 у.е.;
4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода более 700 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 5%.
Решение. Выборочный метод (выборка) используется, когда применение сплошного наблюдения физически невозможно из-за огромного массива данных или экономической нецелесообразности. Учитывая, что на основе выборочного обследования нельзя точно оценить изучаемый параметр (например, среднее значение – 
или долю какого-то признака – р) генеральной совокупности, необходимо найти пределы, в которых он находится. Для этого необходимо определить изучаемый параметр по данным выборки (выборочную среднюю – 
и/или выборочную долю – w) и его дисперсию (Дв). Для этого построим вспомогательную таблицу 3.
Таблица 3. Вспомогательные расчеты для решения задачи
| Xi | fi | ХИ | XИfi | (ХИ - )2
| (ХИ - )2fi
|
| до 300 | |||||
| 300 - 500 | |||||
| 500 - 700 | |||||
| 700 - 1000 | |||||
| более 1000 | |||||
| Итого |
По формуле (18) получим средний доход в выборке: = 57100/100 = 571 (у.е.). Применив формулу (33) и рассчитав ее числитель в последнем столбце таблицы, получим дисперсию среднего выборочного дохода: Дв = 4285900/100 = 42859.
Затем необходимо определить предельную ошибку выборки по формуле (39)[1]:
= t 
,(39)
где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки; – средняя ошибка выборки, определяемая для повторной выборки по формуле (40), а для бесповторной – по формуле (41):
= 
, (40) = 
, (41)
где n – численность выборки; N – численность генеральной совокупности.
В нашей задаче выборка бесповторная, значит, применяя формулу (41), получим среднюю ошибку выборки при определении среднего возраста в генеральной совокупности: = 
= 19,640 (у.е.).
Для определения средней ошибки выборки при определении доли рабочих с доходами более 700 у.е. в генеральной совокупности необходимо определить дисперсию этой доли. Дисперсия доли альтернативного признака w (признак, который может принимать только два взаимоисключающих значения – например, больше или меньше определенного значения) определяется по формуле (42):
.(42)
В нашей задаче долю альтернативного признака (рабочие с доходами более 700 у.е.) найдем как отношение числа таких рабочих к общему числу рабочих в выборке: w = 20/100 = 0,2 или 20%. Теперь определим дисперсию этой доли по формуле (42): 
=0,2*(1-0,2) = 0,16. Теперь можно рассчитать среднюю ошибку выборки по формуле (41): = 
= 0,038 или 3,8%.
Значения вероятности 
и коэффициента доверия t имеются в математических таблицах нормального закона распределения вероятностей (если в выборке более 30 единиц), из которых в статистике широко применяются сочетания, приведенные в таблице 4:
Таблица 4. Значения интеграла вероятностей Лапласа
|
| 0,683 | 0,866 | 0,950 | 0,954 | 0,988 | 0,997 |
| t | 1,5 | 1,96 | 2,5 |
В нашей задаче = 0,950, значит t = 1,96 (то есть предельная ошибка выборки в 1,96 раза больше средней). Предельная ошибка выборки по формуле (39) будет равна: = 1,96*19,64 = 38,494 (у.е.) при определении среднего дохода; = 1,96*0,038 = 0,075 или 7,5% при определении доли рабочих с доходами более 700 у.е.
После расчета предельной ошибки находят доверительный интервал обобщающей характеристики генеральной совокупности по формуле (43) – для средней величины и по формуле (44) – для доли альтернативного признака:
( - ) 
( + )(43) (w- ) p (w + )(44)
В нашей задаче по формуле (43): 571-38,494 571+38,494 или 532,506 у.е. 609,494 у.е., то есть средний доход всех рабочих предприятия с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 532,5 до 609,5 у.е.
Аналогично определяем доверительный интервал для доли по формуле (44): 0,2-0,075 p 0,2+0,075 или 0,125 p 0,275, то есть доля рабочих с доходами более 700 у.е. на всем предприятии с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 12,5% до 27,5%.
При разработке программы выборочного наблюдения очень часто задается конкретное значение предельной ошибки ( ) и уровень вероятности ( ). Неизвестной остается минимальная численность выборки (n), обеспечивающая заданную точность. Ее можно получить, если подставить формулу (40) или (41) в формулу (39) и выразить из них n. В результате получатся формулы для вычисления необходимой численности повторной (45) и бесповторной (46) выборок.
nповт = 
;(45) nб/повт = 
. (46)
В нашей задаче выборка бесповторная, значит, воспользуемся формулой (46), в которую подставим уже рассчитанные дисперсии среднего выборочного дохода рабочих (Дв = 42859) и доли рабочих с доходами более 700 у.е. (Дв = 0,16):
nб/повт = 
= 62 (чел.), nб/повт= 
= 197 (чел.).
Таким образом, необходимо включить в выборку не менее 62 рабочих при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы не ошибиться более чем на 50 у.е., и не менее 197 рабочих при определении доли рабочих с размером месячного дохода более 700 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 5%.