Логарифмическое дифференцирование

В некоторых случаях для нахождения производной сначала можно функцию прологарифмировать, а затем от полученного выражения вычислить производную.

Такая операция называется логарифмическим дифференцированием.

Существуют функции, производные от которых находят лишь с помощью логарифмического дифференцирования.

К таким функциям относится показательно-степенная функция .

Прологарифмируем выражение .

Найдем производную от обеих частей полученного равенства, учитывая, что является функцией от

.

Тогда

или .

Пример 1. Найти производную функции .

¦ Прологарифмируем выражение:

Производные высших порядков

Производная от функции есть также функция от и называется производной первого порядка.

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка и обозначается .

Производная от производной ( )-го порядка называется производной -го порядка и так далее. Начиная с четвертого порядка, производные обозначаются:

или , или и так далее.

Например: , , , , .

Физический смысл производной второго порядка.

Если функция описывет закон движения материальной точки по прямой линии, то – ускорение точки в момент времени .

Производная неявной функции

Пусть функция задана неявно, т.е уравнением , неразрешенным относительно . Чтобы найти производную от по , нужно продифференцировать это уравнение, учитывая, что является функцией от . Затем из полученного выражения выразить .

Пример 1.Найти производную функции .

¦ Найдем производные по от каждой части уравнения.

. ˜

Пример 2.Найти производную второго порядка от функции, заданной неявно:

¦ 1) Найдем : , .

2) Найдем : , заменим

. ˜

Производная функции, заданной параметрически

Будем говорить, что переменная как функция аргумента задана параметрически, если обе переменные и заданы как функции некоторой третьей переменной :

, где – параметр (дополнительная переменная).

Предположим, что существуют и , а функция имеет обратную функцию . Тогда .

В этом случае, параметрически заданную функцию можно рассматривать как сложную функцию .

Тогда .

Производная второго порядка находится по формуле :

или .

Пример 1. Функция задана параметрически: .

Найти производную второго порядка по .

¦ . ˜

Пример 2. Функция задана параметрически: .

Найти производную второго порядка по .

¦ . ˜

Дифференциал функции

Пусть функция имеет отличную от нуля производную

.

Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать , где при .

– это сумма двух б.м.ф. при . При этом первое слагаемое б.м.ф одного порядка с , а второе слагаемое б.м.ф более высокого порядка, чем .

Поэтому первое слагаемое является главной частью приращения функции и называется дифференциалом первого порядка функции в точке .

Обозначают дифференциал так: или .

Дифференциал равен произведению производной функции и приращения аргумента . Найдем дифференциал аргумента .

Следовательно, .

Геометрический смысл дифференциала первого порядка.

Следовательно, дифференциал первого порядка функции в точке –это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке .

Если , то . Последнее равенство можно использовать для приближенного вычисления значения .

Пример 1. Вычислить .

¦ Пусть .

Тогда

˜

• ⇐ Назад
• 1
• 2
• 3
• 4
• 567
• 8
• Далее ⇒