Уравнение касательной к графику функции.
Выведем уравнение касательной к графику функции 
в точке 
.
Будем искать это уравнение в виде у=кх+в.
Т.к. прямая проходит через данную точку, то
, откуда 
.
Тогда 
. А поскольку 
, то
- уравнение касательной.
Пример. Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке (2;4).
.
.
Производные высших порядков.
Если функция дифференцируема в точке, то она имеет производную в этой точке, которая также является функцией от х и также может быть дифференцируемой.
Производной второго порядка или второй производной 
функции называется производная от ее производной:
.
Вторая производная также может быть обозначена символами 
, 
.
Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка:
.
Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например: 
или 
.
Опр. Производной n-го порядканазывается производная от производной (n-1)-го порядка: 
.
Пример. Найти вторую производную функции 
.
Решение. 
;
.
Дифференциал.
Пусть функция 
определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки 
.
Тогда существует конечная производная 
.
По теореме о связи предела и бесконечно малой:
, где 
- бесконечно малая при 
. Отсюда
.
Таким образом, приращение функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно 
и бесконечно малого при .
Опр. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента:
.
Рассмотрим функцию у=х и найдем ее дифференциал.
. Таким образом, формула дифференциала может быть записана в виде:
.
Пример. Найти дифференциал функции 
.
.
Выясним геометрический смысл дифференциала. Из 
: 
. Таким образом, дифференциал есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение .
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:
1. d(С)=0;
2. d(u+v)=du+dv;
3. d(uv)=vdu+udv;
4. 
;
5. Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.
Пример 1. Найти дифференциал функции 
.
Решение. Используя свойства дифференциала, получим: 
.
Пример 2. Найти дифференциал функции 
.
Решение. 
.
Опр. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) 
называется дифференциал от дифференциала функции, т.е.:
.
Аналогично, дифференциалом п-го порядка называется дифференциал от дифференциала (п-1)-го порядка этой функции: 
.