Применение теоремы Гаусса к расчету
Некоторых электростатических полей
В вакууме
1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 126) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +s
(s = dQ/dS— заряд, приходящийся на единицу поверхности).
Рис. 126
Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cosa = 0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Enсовпадает с E), т. е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен sS.Согласно теореме Гаусса (81.2), 2ES = sS/e0, откуда
(82.1)
Из формулы (82.1) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно. .
2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно зараженных плоскостей (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +aи — a. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E = 0. В области между плоскостями Е = Е+ + Е_ (Е+и E_ определяются по формуле (82.1)), поэтому результирующая напряженность
(82.2)
Рис. 127
Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.
3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R собщим зарядом Qзаряжена равномерно с поверхностной плотностью + s. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128).
Рис. 128
Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если г > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), 4pr2E = Q/e0,откуда
(82.3)
При r>Rполе убывает с расстоянием rпо такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости E от г приведен на рис. 129. Если r¢ < R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0).
Рис. 129
4. Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r ( 
- заряд, приходящийся на единицу объема). Учитывая соображения симметрии (см. п. 3), можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (82.3)). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r' < Rохватывает заряд G' = 4/3pr¢3r. Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), 
Учитывая, что 
, получаем
(82.4)
Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием / согласно выражению (82.4). График зависимости Е от гдля рассмотренного случая приведен на рис. 130.
Рис. 130
5. Поле равномерно зараженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R(рис. 131) заряжен равномерно с линейной плотностью t ( 
- заряд, приходящийся на единицу длины).
Рис. 131
Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса rи высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен 2prlE. По теореме Гаусса (81.2), при r > R 2prlE = tl/e0, откуда
(82.5)
Если г < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области E = 0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (82.5), внутри же его поле отсутствует.