Применение вычетов к вычислению интегралов. (Основная теорема теории вычетов)

Из определения предыдущего параграфа непосредственно следует, что интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру, содержащему внутри себя единственную особую точку выражается через вычет в этой точке: . Эта формула легко обобщается следующей теоремой.

Теорема(Основная теорема теории вычетов). Пусть функция f(z) является аналитической всюду в ограниченной замкнутой области G с границей Г за исключением конечного числа изолированных особых точек z_k (k = 1,2,…,n), лежащих внутри области. Тогда

Доказательство. Выделим каждую особую точку z_k замкнутым контуром γ_k , лежащим в области G и содержащим внутри себя эту точку (рис.4).

Функция f(z) является аналитической в области, ограниченной контурами Г и γ₁,…, γ_n. По следствию теорем п. 2.2 верна формула Отсюда и из предыдущего параграфа следует утверждение теоремы.

Данная формула часто используется для вычисления интегралов от комплексных функций.

Пример. Вычислить интеграл где С − окружность

Решение.Функция имеет два полюса первого порядка, лежащие внутри окружности С. Оба вычета легко определяются (п.2.10). Итак:

.

2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке.

Определение.Вычетом аналитической функции f(z) в точке z = ∞ называется значение интеграла , где С – произвольный замкнутый контур, вне которого f(z) – аналитическая и не имеет особых точек, отличных от ∞. Фактически, контур С ⁻ является границей окрестности бесконечно удаленной точки, при обходе которой область остается слева. В силу определения коэффициентов ряда Лорана

получаем:

Пример.Вычислить Res .

Решение. .

Из полученных формул следует утверждение:

Теорема.Пусть функция f(z) регулярна на расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек z₁,…,z_n−1, z_n = ∞. Тогда

Доказательство.Пусть контур С содержит внутри себя все конечные особые точки. В силу

теоремы из п.2.11 и последней полученной формулы имеем: . Из второй части равенства следует утверждение теоремы.

Пример. Рассмотрим последний пример: Res[f,0] = = − Res[f,∞],

т.е. сумма всех вычетов расширенной комплексной плоскости равна нулю.

Выведенная формула может быть записана следующим образом:

.

В такой форме она применяется как при вычислении вычета в бесконечно удаленной точке,

так и справа налево при вычислении интегралов в том случае, когда внутри контура С находится несколько полюсов высокого порядка, а вычет в бесконечно удаленной точке может быть найден достаточно просто непосредственно.

Замечание. Из последней формулы следует, что вычет функции, имеющей в бесконечно удаленной точке устранимую особенность, может быть отличным от нуля.

Вопросы для самопроверки.

1. При каком условии не зависит от пути интегрирования?

2. Применима ли формула Коши для вычисления интеграла .

3. Какова связь между нулями и полюсами функции?

4. Чему равна сумма вычетов функции во всех конечных особых точках?

3.Операционное исчисление.

В этом разделе рассматривается одно из основных приложений ТФКП - решение дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и с частными производными).

3.1. Интеграл Фурье