Другие приемы дифференцирования
Неявно заданные функции.
Пусть для уравнения
и отрезков 
верно следующее: для любого 
найдется единственное значение 
(зависящее от x) такое, что 
. Тогда получаем закон 
в силу которого любому ставится в соответствие число 
такое, что 
. В этом случае 
-- функция, заданная неявно уравнением (1) в прямоугольнике 
.
Пример. Соотнoшение 
в области 
задает функцию 
, а в области 
-- функцию 
.
Метод дифференцирования неявно заданных функций.
1. Дифференцируем (1) по 
, считая 
функцией аргумента x.
2. Из полученного соотношения выражаем 
через y и x. Пусть результат будет 
3. Если даны координаты 
такие, что 
, то 
.
Пример.Найдем производную функции, заданной неявно соотношением 
в окрестности точки 
. Дифференцируем данное отношение по , получим: 
. Отсюда находим 
В точке 
эта производная равна 
и уравнение касательной будет иметь вид 
Параметрически заданные функции
Пусть
-- кривая на плоскости, заданная параметрически. Предположим, что для любого найдется единственное значение параметра 
такое, что 
. Тогда 
называется функцией, заданной параметрически.
Пример.Соотношения
задают эллипс с полуосями 3 и 2. Для любого x∈ [0,3] найдется единственное число 
, а именно 
такое, что 
. Тогда 
-- функция, заданная параметрически соотношением (*), и которую в данном случае мы записали как элементарную функцию (другая запись той же функции -- 
).
Имеет место следующая формула, для производной функции, заданной параметрически:
Действительно, дифференцируя по как сложную функцию с промежуточным аргументом 
, получаем 
Но 
согласно правила дифференцирования обратной функции. Подставляя, получим 
, что и требовалось доказать.□
Пример. Найдем касательную к эллипсу 
при 
. Значения функций 
; 
Логарифмическая производная
Пусть задана дифференцируемая функция . Тогда 
называют логарифмической производной этой функции. Ясно, что 
. Иногда бывает проще сначала найти логарифмическую производную.
Пример.Найдем производную функции 
. Сначала найдем логарифмическую производную этой функции –
Отюда следует
Теперь найдем производную функции 
:
Теорема Лагранжа
Минимумы и максимумы
Пусть функция определена в окрестности точки 
. Точка называется точкой локального максимума, если 
для всех из достаточно малой окрестности точки . Если выполняется неравенство 
для всех из достаточно малой окрестности точки , то a называется точкой локального минимума. Точка локального минимума или локального максимума называется точкой локального экстремума.
Точек локального экстремума на заданном отрезке может быть сколь угодно много (в частности, бесконечно много). Значений в этих точках может быть также сколь угодно много. Но наибольшее (наименьшее) значение функции на заданном множестве может быть только одно. Каждая точка интервала, в которой достигается наибольшее значение (наименьшее значение) на этом интервале автоматически будет точкой локального максимума (локального минимума), но обратное неверно (см. рис.).
Теорема Ферма; необходимое условие экстремума.Пусть - точка локального экстремума функции 
, причем эта функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке производную. Тогда 
Доказательство. Предположим, что -- точка локального максимума. Тогда для 
имеем 
и 
. Следовательно, 
. Но этот правый предел совпадает с двусторонним пределом. Отсюда 
. Аналогично, рассматривая левый предел, т.е. налагая условие 
, получим, что 
. Из последних двух неравенств следует равенство 
. □
Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке 
и дифференцируема на интервале 
, а в концах отрезка принимает одинаковое значение. Тогда найдется точка 
такая, что 
.
Доказательство. Пусть 
-- точки в которых функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений (теорема Вейерштрасса). Если 
не является концевой точкой отрезка , то 
-- искомая точка по теореме Ферма.
Аналогично рассуждаем в случае, когда 
не является концевой точкой. Итак, осталось разобрать случай, когда обе точки 
-- концевые. Тогда 
, и поэтому функция постоянна на отрезке , ибо любое значение лежит между 
. В этом случае в качестве c можно взять любую точку интервала . □
Механический смысл теоремы Ролля: если материальная точка, двигаясь на оси, возвратилась в исходную точку, то найдется момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна нулю. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если концы гладкой кривой лежат на одном и том же уровне относительно некоторой прямой, то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна заданной прямой.
Теорема Лагранжа.Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда найдется точка 
такая, что
или
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию 
и применим к ней теорему Ролля. Это можно сделать, так как 
. Тогда получаем точку 
с условием 
, т.е.
Механический смысл теоремы Лагранжа: -- если материальная точка движется на оси некоторый конечный отрезок времени, то найдется промежуточный момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна средней скорости. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если через концы гладкой кривой провести секущую ℓ , то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна прямой ℓ .
Обобщим теорему Лагранжа
Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), причем g'(x)≠ 0 для любой точки x∈ (a,b). Тогда найдется точка c∈ (a,b) такая, что
Доказательство такое же как и у теоремы Лагранжа, но следует взять вспомогательную функцию 
.
Правило Лопиталя
Теорема.Пусть функции 
дифференцируемы в окрестности точки и 
. Предположим также, что 
в некоторой достаточно малой проколотой окрестности точки . Если существует предел отношения производных 
при 
, то существует предел отношения функций, и эти два предела совпадают:
Доказательство. Имеем
Здесь мы применили теорему Коши к отрезку 
и нашли точку 
.□
Правило Лопиталя для бесконечности.Пусть функции дифференцируемы для всех достаточно больших . Предположим также, что для всех достаточно больших . Если 
и существует предел отношения производных при 
, то существует предел отношения функций и эти два предела совпадают:
Аналогичный результат имеет место и для -∞ .
Замена t=1/x сводит доказательство к случаю a=0 правила Лопиталя.
Правило Лопиталя для неопределенности ∞/∞ . Пусть функции дифференцируемы для всех достаточно больших . Предположим также, что для всех достаточно больших x. Если 
и существует предел отношения производных при x→ +∞ , то существует предел отношения функций и эти два предела совпадают (см (2)).
Аналогичный результат имеет место и для -∞ .
Замена дроби f/g на (1/g)/(1/f) сводит доказательство к предыдущему случаю.
Пример.
