Квантовые свойства атомов,
Молекул и твердых тел
Основные формулы и законы
· Волновые функции связанных состояний (Е < 0) атома водорода имеют вид
,
где 
– главное квантовое число ( = 1, 2, 3, …); 
– орбитальное (азимутальное) квантовое число ( = 0, 1, 2, …, ( – 1));
– магнитное квантовое число ( = 0, ±1, ±2, …, ± 
); 
– радиальные функции, а 
– сферические функции.
Квантовые числа , , являются характеристиками микросостояния частицы, в том числе и электрона в атоме водорода, и появляются при решении нерелятивистского уравнения Шредингера.
· Квантовое магнитное спиновое число 
( =±1/2) электрона появляется лишь при решении релятивистского уравнения Дирака, т. е. спин является релятивистской характеристикой.
· Принцип Паули: в атоме два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (определяемом набором четырех квантовых чисел , , , ).
· Электронная конфигурация атома в основном состоянии 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10…, где числа ( = 1, 2, 3, …) соответствуют главному квантовому числу, которое задает электронные слои (оболочки) K, L, M, N, …. Буквы латинского алфавита s, p, d, f соответствуют орбитальному квантовому числу ( = 0, 1, 2, 3), которое задает s, p, d, f – состояния (электронные подоболочки) атома. Числа над s, p, d, f соответствуют числу электронов в соответствующих состояниях.
· Закон Мозли
,
где 
– характеристические частоты спектра; 
– постоянная Ридберга; 
– заряд ядра атома в относительных единицах; 
– постоянная экранирования; и – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.
· При = 0 формула закона Мозли обращается в формулу, описывающую линейчатые спектры водородоподобных атомов
.
При = 0 и = 1 формула закона Мозли совпадает с обобщенной формулой Бальмера для линейчатого спектра атома водорода.
· Частоты излученного или поглощенного электромагнитного кванта молекулярного спектра
= 
(∆ Wэл. + ∆ Wкол. + ∆ Wвр.),
где ∆Wэл., ∆Wкол. и ∆Wвр. – разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней.
· Средняя энергия квантового одномерного осциллятора
,
где 
– нулевая энергия; 
- постоянная Планка; 
– циклическая частота колебаний осциллятора; 
– постоянная Больцмана;
– термодинамическая температура.
· Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов
,
где 
– молярная газовая постоянная; 
= 
– характеристическая температура Эйнштейна.
· Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)
( T << 
),
где 
= 
– характеристическая температура Дебая.
· Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 К
,
где 
– концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от 
до + 
; – масса электрона. Это выражение справедливо при < 
( – энергия или уровень Ферми).
· Энергия Ферми в металле при Т = 0 К
,
где – концентрация электронов в металле.
· Средняя энергия электронов
.
· Удельная проводимость собственных полупроводников
,
где 
– ширина запрещенной зоны; 
- константа.
· Сила тока в p-n – переходе
,
где 
– предельное значение силы обратного тока;
– внешнее напряжение, приложенное к p-n – переходу.
· Связь между глубиной потенциальной ямы и работой выхода 
из металла и полупроводника:
,
где 
– максимальная энергия электрона в яме.
· Внутренняя контактная разность потенциалов
,
где 
и 
- энергия Ферми соответственно для первого и второго металла или полупроводника; 
– заряд электрона.
Задания
Квантовая физика атома
|
4.37.Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода, задается в декартовых координатах уравнением 
.
Представить 1) собственные значения энергии, удовлетворяющие уравнению; 2) график потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром; 3) возможные дискретные значения энергии на этом графике. [1) 
, 
=1, 2, 3,…
2), 3) см. рисунок справа].
4.38.От каких квантовых чисел зависят соответственно радиальная 
и сферическая 
функции, входящие в волновую функцию связанных состояний атома водорода? [ , 
; , 
].
| 4.39.На рисунке слева схематически представлена система энергетических уровней атома водорода. Какие переходы запрещены правилами отбора? [3s→2s]. |
4.40.Пользуясь условными обозначениями состояний электрона в атоме водорода, записать переходы, приводящие к возникновению серии Бальмера.[ns→2p; nd→2p] (n = 3, 4, …).
|
4.41.Объяснить диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетических уровней и спектральных линий (с учетом правил отбора) при переходах между состояниями с = 1 и = 2. [p – состояние: 
s – состояние: 
].
4.42.Нормированная волновая функция, описывающая
1s – состояние электрона в атоме водорода, имеет вид 
, где 
– первый боровский радиус. Определить среднюю потенциальную энергию электрона в поле ядра. [ 
– 27,2 эВ].
4.43.Определить, во сколько раз орбитальный момент импульса электрона, находящегося в d – состоянии, больше, чем для электрона в p – состоянии. [1,73].
4.44.Записать электронную конфигурацию атома фосфора с вакансией в 2p – подоболочке. [1s2 2s2 2p5 3s2 3p3].
4.45.Записать квантовые числа, определяющие внешний, или валентный, электрон в основном состоянии атома алюминия. [ = 3, = 1, = 0, ±1; 
= ±1/2].
Закон Мозли
4.46.Определить наименьшую длину волны рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка работает при напряжении U = 30 кВ. [41,3 пм].
4.47.Считая, что формула закона Мозли с достаточной степенью точности дает связь между характеристическими частотами рентгеновского спектра и порядковым номером элемента, из которого сделан антикатод, найти наибольшую длину волны К-серии рентгеновских лучей, даваемых трубкой с антикатодом из: 1) железа, 2) меди, 3) молибдена, 4) серебра, 5) тантала, 6) вольфрама, 7) платины. Для К – серии постоянная экранирования 
= 1. [1) 194 пм; 2) 154 пм; 3) 71,2 пм; 4) 56,3 пм; 5) 22 пм; 6) 21,4 пм; 7) 19 нм].
4.48.Определить постоянную экранирования для L – серии рентгеновских лучей, если известно, что при переходе электрона в атоме вольфрама с М- на L-слой испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 143 пм. [ = 5,5].
4.49.Определить элемент и его порядковый номер в периодической системе элементов Д.И. Менделеева, если граничная (наибольшая) частота К – серии характеристического рентгеновского излучения составляет 5,55∙1018 Гц. [z = 42, молибден].
4.50.При переходе электрона в атоме с L- на К-оболочку испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 78,8 пм. Какой это атом? Для К-серии постоянная экранирования = 1. [z = 40, цирконий].
4.51.В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длина волны которого в 4 раза меньше, чем у атомарного водорода. Определить элемент, которому принадлежит данный спектр. [z = 2, гелий].
4.52.Молекулярные спектры состоят из трех видов полос:
1) вращательных; 2) колебательно-вращательных и 3) электронно-колебательных, которые в свою очередь состоят из большого числа тесно расположенных линий. В эксперименте и в теории проявляется значительное различие в разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней, между которыми разрешены переходы электрона в соответствии с правилами отбора, причем ∆Wэл.>∆Wкол.>∆Wвр. Определить, какие полосы будут наблюдаться соответственно на: 1) длинноволновой и 2) коротковолновой границах молекулярного спектра при возбуждении всех приведенных выше полос полосатого спектра молекулы. [1) вращательные; 2) электронно-колебательные].