Решение линейной задачи магнитного поля электромагнита постоянного тока
Электромагнитом называют устройство, в котором магнитное поле создается током, протекающим через обмотку намагничивания. Электромагниты находят широкое применение в приводах различных устройств, электромагнитных реле, контакторах, электромагнитных клапанах в гидро- и пневмосистемах и т.п.
Магнитные системы электромагнитов представляют собой совокупность ферромагнитных деталей, предназначенную для проведения в ней основной части магнитного потока.Учет истинной геометрии магнитной системы и свойств используемых магнитных материалов существенно затрудняет расчет магнитного поля электромагнита не только аналитическими, но и численными методами, такими как широко применяемый в расчетах магнитных полей метод конечных элементов (МКЭ).
Расчет магнитного поля электромагнита формулируется в виде краевой задачи определенияхарактеристик поля в исследуемой области при заданной геометрии магнитной системы, свойств используемых магнитных материалов и магнитодвижущих сил.
Применение МКЭ для расчета магнитного поля покажем на примере электромагнита постоянного тока с расщепленными полюсами (рис. 1, 2). При построении расчетной модели электромагнита используем допущения.
1. Расчет магнитного поля электромагнита будем рассматривать как задачу магнитостатики [1], в которой магнитное поле создается постоянным током.
2. В задаче магнитостатики под источниками поля будем понимать сосредоточенные и распределенные токи и токовые слои намагничивающих обмоток.
3. Абсолютная магнитная проницаемость 
ферромагнетика является постоянной величиной, то есть рассматривается линейная задача.
4. Для конструкции электромагнита постоянного тока, показанной на рисунке 1, магнитное поле будем считать плоскопараллельным, то есть векторы 
и 
зависят от координат 
и 
, и не зависят от координаты 
. В таком поле вектор магнитной индукции лежит в плоскости 
, и в любом сечении на плоскости, перпендикулярной оси , картина поля одна и та же.
Распределение магнитного поля электромагнита постоянного тока описывается уравнением Лапласа - Пуассона относительно векторного магнитного потенциала 
- вспомогательного вектора [1,2], используемого для определения вектора магнитной индукции 
:
(1)
где 
- лапласиан; 
- уравнение Лапласа, для области, не занятой током; 
- уравнение Пуассона для области, где плотность тока 
не равна нулю; 
- абсолютная магнитная проницаемость среды; 
- магнитная проницаемость вакуума; 
- относительная магнитная проницаемость среды.
В декартовой системе координат уравнение Лапласа - Пуассона имеет вид:
(2)
Составляющие вектора магнитной индукции при этом будут
, 
(3)
В уравнении (2) векторный магнитный потенциал 
имеет одну составляющую, направленную вдоль оси , также как вектор плотности тока 
. Относительная магнитная проницаемость и плотность тока в уравнении (2) являются постоянными величинами в пределах кусочно-однородных областей, на которые разбивается расчетная область электромагнита.
Решение уравнения (2) в МКЭ начинается с разбиения расчетной области на 
- симплекс элементов, представляющих собой прямоугольные треугольники (рис. 3).
На каждом элементе 
векторный магнитный потенциал представляется следующим образом:
(4)
где 
; 
– координатная функция; 
– коэффициенты, определяемые координатами узлов 
[3];
– значения векторного магнитного потенциала в узлах расчетной сетки;
– площадь треугольника .
Преобразования Галеркина [3] приводят к замене дифференциального уравнения (2) системой линейных алгебраических уравнений относительно – элементов сетки
(5)
где 
– для области с распределенным током;
– для области, не занятой током;
– транспонированная матрица координатных функций по отношению к матрице в выражении (4).
Выполнив операцию интегрирования в (5) по площади элемента с учетом выражения (4), получим для элементов модели систему линейных алгебраических уравнений для определения векторного магнитного потенциала в узлах сетки
(6)
где 
Решение системы уравнений (6) получим с помощью комплекса программ 
, предназначенным для инженерного моделирования электромагнитных задач методом конечных элементов, включая задачи линейной магнитостатики. Для этого в комплексе программ необходимо описать задачу – ее геометрию, свойства сред, источники поля, граничные условия. Создание модели электромагнита постоянного тока в комплексе программ требует от пользователяопределенных навыков, в связи с этим студенту в лабораторной работе предоставляется готовое решение задачи по расчету электромагнита с расщепленными полюсами (рис. 1), находящееся в лабораторном компьютере на диске D:/Электро-магнит. Пример задачи в папке <Электромагнит> представляет собой полный набор данных конструкции электромагнита постоянного тока (рис. 1 и 2): геометрическую модель с построенной сеткой конечных элементов, файл описания свойств и готовое решение.
Рис. 1. Эскиз магнитной системы электромагнита постоянного тока:
1 - полюсные наконечники; 2,3 – обмотка, состоящая из двух последовательно соединенных идентичных катушек; 4 – расщепленные полюса; 5 – ярмо; 0А – ось симметрии
Ниже приведен порядок построения геометрической модели электромагнита постоянного тока, ввода физических свойств материалов, задания граничных условий и анализа результатов решения. Последовательность шагов решения задачи состоит в следующем:
ШАГ 1. Название задачи магнитостатики.
Электромагнит постоянного тока с полюсными наконечниками.
ШАГ 2. Тип задачи.
Линейная задача магнитостатики в плоскопараллельной постановке.
Шаг 3. Исходные данные задачи.
Геометрия модели электромагнита (рис. 3) и ее основные размеры
зазор между наборными полюсами 
толщина полюса 
Наборные полюса, полюсные наконечники и ярмо изготовлены из стальных брусков прямоугольного сечения, стянуты крепежными болтами для обеспечения жесткости конструкции. Материал магнитопровода - электротехническая сталь. Обмотка состоит из двух одинаковых последовательно соединенных катушек. Суммарное число витков обмотки 
Относительная магнитная проницаемость воздуха и обмотки 
Относительная магнитная проницаемость стали принята равной 
Ток в обмотке электромагнита 
Шаг 4. Что требуется получить в ходе решения задачи:
– построить картину магнитного поля электромагнита;
– построить график магнитной индукции оси симметрии 0А электромагнита в зависимости от расстояния до ярма;
– выполнить проверку расчета магнитного поля по закону полного тока.
Шаг 5. Решение задачи:
Магнитная система электромагнита постоянного тока имеет значительный межполюсный зазор, в связи с этим внешнюю границу модели следует разместить как можно дальше от сердечника. На этом удалении от полюсных наконечников магнитная индукция достаточно мала, то есть принимается равной нулю. Площадь области моделирования (рис. 3) с учетом кусочно-однородных сред с различными магнитными проницаемостями (сталь, обмотка с током, воздух) составляет 
. На внешней границе области принимается условие (рис. 4) , что векторный магнитный потенциал 
Рис. 3. Меню и окно работы с моделью электромагнита постоянного тока
Рис. 4. Окно задания граничных условий в модели:
на внешней границе векторный магнитный потенциал 
Рис. 5. Окна задания физических свойств объекта с метками:
«воздух» (а) «медь» (б), «сталь» (в)
Задание физических свойств объектов с различными магнитными проницаемостями с учетом источников поля приведено в окнах рисунка 5.
Перед началом решения задачи комплекс программ 
автоматически покрывает моделируемую область сеткой конечных элементов (рис. 6), в узлах которой производится расчет значений векторного магнитного потенциала, удовлетворяющего уравнению Лапласа – Пуассона (8) при заданных граничных условиях, методом конечных элементов [2]. Время решения задачи (рис. 7) при сетке, содержащей 250 тысяч узлов, на IBM PC 486/Pentium/AMD составляет примерно 10 минут.
В плоскопараллельном поле условие для векторного магнитного потенциала 
определяет силовую линию поля. Под силовой линией поля понимается линия, в каждой точке которой вектор магнитной индукции направлен к ней по касательной.Для построения картины магнитного поля электромагнита комплекс программ выбирает интервалы между соседними силовыми линиями таким образом, чтобы при переходе от одной силовой линии к другой выполнялось условие 
По рассчитанной картине магнитного поля электромагнита (рис.8) можно определить изменение вектора магнитной индукции и его составляющих в любом заданном направлении, например, вдоль оси симметрии электромагнита при изменении расстояния до ярма (рис. 9)
Рис. 8. Окно построения картины магнитного поля: линия на оси симметрии показывает отчет точек от ярма, в которых определяются значения магнитной индукции
Рис. 9. График магнитной индукции в зависимости от расстояния до ярма на оси симметрии электромагнита
а) б)
Рис. 10. Окно проверки расчета магнитного поля по закону полного тока: а – выбор контура интегрирования;
б – результаты проверки расчета магнитного поля по закону полного тока
С помощью можно сделать проверку правильности расчета магнитного поля электромагнита путем использования закона полного тока.
Закон полного тока формулируется следующим образом: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру 
равна полному току внутри этого контура:
(7)
Выберем в рассматриваемой задаче контур таким образом, как показано на рисунке 10, а. При правильном расчете магнитного поля согласно (9) должны получить полное число ампервитков, которые охватываются этим контуром, то есть суммарную магнитодвижущую силу обмотки, а именно:
Как видно из данных расчета магнитного поля, приведенных на рисунке 10, б, расчет магнитного поля выполнен точно.