Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина
Если имеется ряд результатов равноточных измерений l1; l2; …; ln одной и той же величины, то за окончательное значение принимают среднюю арифметическую величину L из всех результатов.
.
Если истинное значение измеряемой величины х, то абсолютные ошибки будут равны:
Δ1= l1- х;
Δ2= l2- х;
………;
Δ n= ln- х,
________
[Δ] = [l] – nx.
Из суммы равенств получим, что .
В соответствии со свойством 4 случайных ошибок, с увеличением числа измерений величина при n → ∞.
Следовательно, при бесконечно большом числе измерений, среднее арифметическое L будет стремиться к истинному значению измеряемой величины х.
Величина при конечном числе измерений будет вероятнейшим значением определяемой величины, называемой арифметической серединой. Разность между результатом измерения и средним арифметическим называют уклонением от арифметической середины или вероятнейшими ошибками υ, т. е. l1 - L = υ1.
Сумма вероятнейших ошибок равняется нулю , если величина среднего арифметического не имела округлений.
В топографии и геодезии в качестве критериев точности измерений в основном применяют среднюю квадратическую ошибку и относительную ошибку.
Среднюю квадратическую ошибку отдельного результата измерения m вычисляют по формуле Гаусса: .
Формулу Гаусса можно использовать, когда известно истинное значение измеренной величины, а для оценки точности величин, истинное значение которых неизвестно, применяется формула Бесселя , где υ – вероятнейшая ошибка.
Среднюю квадратическую ошибку арифметической середины М выражают через среднюю квадратическую ошибку m отдельного измерения, т. е. .
Таким образом, средняя квадратическая ошибка арифметической середины из результатов равноточных измерений в раз меньше средней квадратической ошибки результата отдельного измерения. Для уменьшения ошибки измерения, например, в 2 раза, количество измерений необходимо увеличить в 4 раза.
Применительно к конкретным условиям указывают критерий отбраковки результатов измерений. В качестве такого критерия служит предельная ошибка. Для наиболее значимых измерений применяются повышенные требования к точности и величину предельной ошибки принимают равной 2m, т. е. Δпр.= 2m (удвоенное значение средней квадратической ошибки. Для менее значимых измерений принимается величина предельной ошибки равная 3m, т. е. Δпр.=3m (утроенное значение средней квадратической ошибки).
Пример, если при угловых измерениях m = 5˝, то «по правилу 2m» отбраковываются все результаты, значения которых по абсолютной величине больше 10˝, а применительно к «правилу 3m» отбраковываются – больше 15˝.
Для суждения о точности многих измерений недостаточно определения величины абсолютной ошибки, необходимо еще знать значение самой измеряемой величины. Так, для получения представления о точности линейных, площадных и других измерений применяется относительная ошибка.
Относительная ошибка – это отвлеченное число, выражающее отношение абсолютной ошибки к результату измерения. Относительную ошибку принято выражать простой дробью, числитель которой равен единице.
– для отдельного результата измерений
–для арифметической середины.
Значение знаменателя принято округлять до двух значимых цифр. Чем больше знаменатель, тем выше точность выполненных работ.
Рассмотрим пример. Измерены две линии: одна длиной 220 м со средней квадратической ошибкой 0,17 м, другая – длиной 390 м со средней квадратической ошибкой 0,23 м, т. е. L1 = 220 м, m1= 0,17 м, L2 = 390 м, m2=0,23 м. Какая из линий измерена точнее?
Подставив результаты измерений и вычислений в вышеприведенные формулы,получим,что относительная ошибка в первом случае будет равна , а во втором – . Следовательно, вторая линия измерена точнее, несмотря на большую величину абсолютной ошибки.