ТЕМА № 2. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Т.С. Онискевич

 

МАТЕМАТИКА В

РАЗНОУРОВНЕВЫХ ЗАДАНИЯХ

 

Практикум для студентов-заочников

специальности «Начальное образование»

 

Часть 1

 

 

Брест 2006

УДК 372.8:51(07)

ББК 74.262.21+74.58

О 58

Рецензенты

Кандидат педагогических наук,

проректор по учебной работе БрОИПК и ПРРиСо

В.С. Дуванова

Кандидат физико-математических наук,

зав. кафедрой методик дошкольного образования

Т.С. Будько

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета

УО «БрГУ им. А.С. Пушкина»

 

 

О 58 Математика в разноуровневых заданиях (практикум для студентов-заочников специальности «Начальное образование»): Часть 1 / Сост.: Т.С. Онискевич. – Брест: Изд-во УО «БрГУ им. А.С. Пушкина», 2006. – 60 с.

 

ISBN

 

Практикум содержит программу по математике данной специальности, список литературы с указанием страниц, где изложен теоретический материал, перечень разноуровневых заданий для самостоятельного выполнения с образцами решений нулевого варианта.

Пособие предназначено для самостоятельной работы и совершенствования навыков решения задач по курсу математики, а также для выполнения контрольной работы № 1 студентами отделения заочного обучения.

 

УДК 372.8:51(07)

ББК 74.262.21+74.58

© Издательство БрГУ
имени А.С.Пушкина, 2006

ISBN © Онискевич Т.С. 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие …………………………………………………………….5

 

Разноуровневые задания по теме № 1 «Теория множеств»:

Задания 1 уровня ………………………………………………………..7

Образцы решения заданий 1 уровня …………………………………..8

Задания 2 уровня ………………………………………………………..9

Образцы решения заданий 2 уровня …………………………………10

Задания 3 уровня ………………………………………………………12

Образцы решения заданий 3 уровня …………………………………14

Задания 4 уровня ………………………………………………………15

Задания 5 уровня ………………………………………………………17

 

Разноуровневые задания по теме № 2 «Логика высказываний»:

Задания 1 уровня ………………………………………………………18

Образцы решения заданий 1 уровня …………………………………20

Задания 2 уровня ………………………………………………………21

Образцы решения заданий 2 уровня …………………………………22

Задания 3 уровня ………………………………………………………23

Образцы решения заданий 3 уровня …………………………………25

Задания 4 уровня ………………………………………………………26

Задания 5 уровня ………………………………………………………26

 

Разноуровневые задания по теме № 3 «Логика предикатов»:

Задания 1 уровня ………………………………………………………27

Образцы решения заданий 1 уровня …………………………………29

Задания 2 уровня ………………………………………………………30

Образцы решения заданий 2 уровня …………………………………31

Задания 3 уровня ………………………………………………………33

Образцы решения заданий 3 уровня …………………………………34

Задания 4 уровня ………………………………………………………36

Задания 5 уровня ………………………………………………………38

 

Разноуровневые задания по теме № 4 «Комбинаторика»:

Задания 1 уровня ………………………………………………………39

Образцы решения заданий 1 уровня …………………………………41

Задания 2 уровня ………………………………………………………41

Образцы решения заданий 2 уровня …………………………………42

Задания 3 уровня ………………………………………………………43

Образцы решения заданий 3 уровня …………………………………44

Задания 4 уровня ………………………………………………………44

Задания 5 уровня ………………………………………………………45

 

Разноуровневые задания по теме № 5 «Бинарные отношения»:

Задания 1 уровня ………………………………………………………46

Образцы решения заданий 1 уровня …………………………………48

Задания 2 уровня ………………………………………………………49

Образцы решения заданий 2 уровня …………………………………50

Задания 3 уровня ………………………………………………………52

Образцы решения заданий 3 уровня …………………………………54

Задания 4 уровня ………………………………………………………55

Задания 5 уровня ………………………………………………………57

 

Литература ……………………………………………………………..59

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Практикум по методике с разноуровневыми заданиями предназначен для будущих учителей начальных классов, социальных педагогов, обучающихся заочно.

Пособие является руководством по самостоятельному изучению курса математики, поскольку:

− содержит программу по математике для студентов специальности «Начальное образование»;

− включает список литературы по каждой теме для повторения теоретического материала;

− содержит задачи пяти уровней сложности, распределение которых организовано с учетом их постепенного усложнения и увеличения объема теоретических знаний для выполнения;

− предполагает самоконтроль и самооценку студентов посредством использования образцов решений 0 варианта для 1 – 3 уровней сложности;

− дает возможность произвольного выбора заданий (А или Б) для выполнения в каждом варианте по каждой теме.

Часть 1 содержит задания по следующим темам:

1. Теория множеств

2. Логика высказываний

3. Логика предикатов

4. Комбинаторика

5. Бинарные отношения.

Студентам предлагаются задания пяти уровней:

Первый – уровень узнавания. В эту группу включены задания тестового характера, для выполнения которых необходимы лишь формальные знания основных определений, теорем, свойств. Это, как правило, выбор правильного ответа из нескольких предложенных (закрытые тестовые задания).

Второй – уровень неосознанного воспроизведения учебного материала. Задания, соответствующие этому уровню усвоения – несложные задачи на применение усвоенных математических фактов. Наряду с закрытыми, в этой группе предлагаются и открытые тестовые задания.

Третий уровень – воспроизведение с осознанным пониманием. Группа заданий, соответствующих этому уровню, включает в себя задачи, аналогичные разобранным в нулевом варианте. Решение задач на этом уровне идет по аналогии.

Четвертый уровень – применение знаний в знакомой ситуации. К этой группе относятся более сложные по сравнению с третьим уровнем задачи, но требующие, тем не менее, стандартного подхода к их решению.

Пятый – уровень творческого применения знаний. Сюда вошли, в основном, задачи на доказательство математических фактов, формул, нестандартные задачи, требующие применения творческой активности в процессе их решения.

Работа состоит из 5 вариантов. Студент выполняет один из вариантов, номер которого определяет преподаватель. Для получения отметки «зачтено» по контрольной работе студент должен осуществить выбор и выполнить:

- либо задания первых трех уровней,

- либо задания 4 уровня,

- либо задания 5 уровня.

Студент, выбравший выполнение заданий первых трех уровней, имеет возможность выполнить в каждом из трех уровней задание А или Б по желанию. Например, набор заданий для 1 варианта может быть следующим: «Теория множеств» – задания 1А, 1Б, 1Б; «Логика высказываний» – задания 1Б, 1А, 1Б и т.д. Итого: 5 тем по 3 задания, всего 15 заданий. Студент, выполняющий задания 4 или 5 уровня, выполняет все задания (А и Б), помещенные в его варианте по каждой теме. Контрольная работа 4 уровня (все варианты) состоит из 9 заданий, 5 уровня – из 8 заданий.

Распределение вариантов контрольной работы указывает преподаватель. Один из возможных способов распределения такой:

1 вариант – пишут студенты, номера зачетной книжки которых заканчиваются цифрами 0 или 1;

2 вариант – последняя цифра зачетки 2 или 3;

3 вариант – последняя цифра зачетки 4 или 5;

4 вариант – последняя цифра зачетки 6 или 7;

5 вариант – последняя цифра зачетки 8 или 9.

Практикум может быть использован студентами дневного отделения для самостоятельной работы по отдельным темам, а также для самооценки уровня знаний по математике и своего продвижения в изучении материала.

Автор

ТЕМА № 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Понятие множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами: пересечения, включения, равенства. Круги Эйлера. Подмножество. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность. Дополнение множества. Декартово произведение множеств.

Литература: [1] с. 25-38; [2] с. 5-20, с. 79-82; [3] с. 15-32; [4] с. 12-23; [5] с. 5-25; [6] с. 60-72; [7] с. 6-16.

 

 

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (задания 1 уровня)

 

1А. Назовите пары равных множеств:

а) А={2, 4, 6} и В={6, 4, 2};

б) А={1, 2, 3} и В={Ι, ΙΙ, ΙΙΙ};

в) А={{1, 2}, {2, 3}} и В={2, 3, 1};

г) А={ , , , } и В={12, 22, 32, 42}.

 

1Б. Каким способом задано множество А в каждом из случаев:

а) А={х|хÎN, х≤9};

б) А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

в) А={х|хÎN, 2х+1<21}.

 

2А. Для каких пар множеств имеет место отношение включения:

а) А={а, в, с, d} , В= {а, с, d};

б) А=Æ, В={Æ};

в) А=Æ, В={а, в, с};

г) А={а, в}, В={а, с, d}.

 

2Б. А – множество четырехугольников. Принадлежит ли множеству А:

1) параллелограмм, 2) ромб, 3) трапеция, 4) параллелепипед, 5) пирамида?

 

3А. Даны множества: А={1, 2, 3, 4, 5, 6} и В={х|хÎNо, х≤15}.

Пусть С=АÇВ. Укажите правильный ответ:

а) C={х|хÎN, 6<<х≤15}; б) С=[1,6];

в) С={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; г) С={х|хÎN, 1≤х≤6};

д) С={х|хÎNо, х≤6}.

 

3Б. Каким способом задано множество В в каждом из случаев:

а) В={х|хÎR, |х|<2};

б) В=(-2, 2);

в) В={х|хÎR, -2<х<2};

г)

 

 

4А. Даны множества А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, В={х|х ÎN, х≤10}. Пусть С=АÈВ. Укажите правильный ответ:

а) С={х|х ÎN, х≤12}; б) С=В; в) С=А;

г) С={х|х ÎN, х≤10}; д) С={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 12}.

 

4Б. М – множество всех геометрических фигур плоскости. Принадлежит ли множеству М:

а) точка; б) отрезок; в) луч; г) прямая; д) тупой угол.

 

5А. Даны множества Х={1, 2, 3, 4}, У={а, в, с}. Пусть Z=Х´У.

Укажите правильный ответ:

а) Z={(1,а), (2,а), (3,а), (4,а), (1,в), (2,в), (3,в), (4,в), (3,с), (2,с), (1,с)};

б) Z={(1,а), (1,в), (1,с), (2,а), (2,в), (2,с), (3,а), (3,в), (3,с), (4,а), (4,в), (4,с)};

в) Z={(а,1), (в,1), (с,1), (а,2), (в,2), (с,2), (а,3), (в,3), (с,3), (а,4), (в,4), (с,4)};

г) Z={(1,а), (2,в), (3,с), (4,а), (4,в), (4,с)}.

 

5Б. В – множество натуральных чисел, меньших 14. Какие из записей верны: а) 10ÎВ, б) 1ÎВ, в) 0ÎВ, г) 2/3ÎВ, д) -10ÎВ, е) 22ÎВ?

 

 

0А. Для каких пар множеств имеет место отношение включения:

а) А=Æ, В=Æ;

б) А={а, в, к}, В={к, е, с};

в) А={{а}, а, Æ}, В={а};

г) А={{а, в}, {с, d}, с, d}, В={{а, в}, с}.

Решение:

а) А=Æ, В=Æ; эти множества находятся в отношении включения, т.к. А=В=Æ, а любое множество является своим же подмножеством, т.е. ÆÌÆ, значит, АÌВ, ВÌА.

б) А={а, в, к}, В={к, е, с}; эти множества не находятся в отношении включения. Они находятся в отношении пересечения, поскольку имеют один общий элемент к.

в) А={{а}, а, Æ}, В={а}; ВÌА, т.к. множество В входит в множество А как один из его элементов.

г) А={{а, в}, {с, d}, с, d}, В={{а, в}, с}; ВÌА, т.к. каждый элемент множества В является элементом множества А. Обратное утверждение неверно.

 

0Б. А – множество многоугольников. Принадлежит ли множеству А:

а) отрезок; б) треугольник; в) луч; г) призма; д) квадрат?

Решение:

а) отрезок не принадлежит множеству А, т.к. отрезок - это часть прямой, ограниченная точками с обеих сторон, а не многоугольник;

б) треугольник принадлежит множеству А, т.к. треугольником называют многоугольник, имеющий три стороны;

в) луч не принадлежит множеству многоугольников, т.к. луч – это полупрямая;

г) призма не принадлежит множеству многоугольников, поскольку призма – это многогранник;

д) квадрат принадлежит множеству многоугольников, т.к. квадрат – это четырехугольник, являющийся частным случаем многоугольника.

 

 

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (задания ІІ уровня)

 

1А. Запишите словами и перечислите элементы каждого из множеств:

а) А={х|хÎN, х<6}; б) В={ х|хÎNо, |х|≤5};

в) С={ х|хÎZ, -1≤х≤6}; г) Д={х|хÎR, х(х+3)=0}.

 

1Б. Даны множества: А={3, 4, 5, 6, 7}, В={5, 6, 7, 8, 9, 10},
С={0, 1, 2, 3, 4, 5}. Изобразите данные множества на кругах Эйлера. Найдите:

а) АÈВÈС; б) АÇВÇС; в) АÇВÈС; г) (АÈС)Ç(ВÈС).

 

2А. Прочтите записи и перечислите элементы каждого из множеств:

а) М={х|хÎNо, х≤3};

б) N={у|уÎZ, -4≤у≤5};

в) К ={z|zÎR, -7≤z<0}.

Изобразите множества М, N, К на числовой прямой.

 

2Б. А – множество правильных многоугольников, В – множество треугольников, С – множество четырехугольников. Постройте круги Эйлера для множеств А, В и С. Укажите характеристические свойства множеств:

а) АÇВ; б) АÇС; в) ВÇС; г) АÇВÇС.

 

3А. Изобразите следующие множества на числовой прямой и задайте их описанием характеристического свойства:

а) А=[-1; 4]; б) В=(-3; 1); в) С=[2; +∞).

 

3Б. Пусть А={10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}, В={13, 15, 17}. В каком отношении находятся множества А и В? Изобразите множества А и В на кругах Эйлера. Найдите А\В, В\А. Верно ли утверждение: А\В=В\А?

 

4А. Прочтите записи и изобразите на числовой прямой следующие множества:

а) А={х|хÎR, -5≤х≤1};

б) В={у|уÎN, -1≤у<7};

в) С={z|zÎZ, z≥-3}.

 

4Б. Даны множества: Е={1, 2, 5, 6}, F={3, 4, 5, 6}. В каком отношении находятся множества Е и F? Изобразите их на кругах Эйлера. Найдите ЕÈF, ЕÇF. Верны ли утверждения:

а) 1ÎЕÈF; б) 1ÎЕÇF; в) 5ÎЕÈF; г) 5ÎЕÇF; д) 7ÎЕÈF?

 

5А. Прочтите записи и изобразите на числовой прямой следующие множества:

а) L={х|хÎN, х<8};

б) Q={х|хÎR, х>3,2};

в) R={ х|хÎZ, -2≤х≤2}.

 

5Б. Известно, что Р – множество двузначных натуральных чисел, S – множество всех нечетных натуральных чисел. Изобразите данные множества на кругах Эйлера. Из каких чисел состоит множество К=РÇS? Запишите множество К двумя способами. Верно ли, что

а) 21ÎК; б) 32ÎК; в) 7ÏК; г) 17ÏК.

 

0А. Прочтите записи и изобразите на числовой прямой множества:

а) Т={х|хÎNо, |х|<2};

б) S={х|хÎZ, -2<х≤3};

в) U={х|хÎR, х<-7}

 

Решение:

а) Т={х|хÎNо, |х|<2} Множество Т состоит из элементов х, таких, что х – натуральное число, меньшее 2.

 
 

 


б) S={х|хÎZ, -2<х≤3} Множество S состоит из элементов х, таких, что х – целое число, большее (- 2) и меньшее либо равно 3.

 
 

 


в) U={х|хÎR, х<-7} Множество U состоит из элементов х, таких, что х – действительное число, меньшее (-7).

 
 


 

0Б. А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников. Постройте круги Эйлера для множеств А, В, С. Укажите характеристическое свойство множеств: а) АÇВ, б) АÇС, в) ВÇС, г) АÇВÇС.

Решение:

а) устанавливаем, множества А, В и С находятся в отношении включения, а именно ВÌАÌС.

 
 

 

 


б) находим АÇВ.

 
 

 

 


АÇВ=В – множество прямоугольников;

 

 

в) находим АÇС.

 
 

 

 


АÇС=А – множество параллелограммов;

 

 

г) находим ВÇС.

 

 

 


ВÇС=В – множество прямоугольников;

 

д) находим АÇВÇС.

 
 

 

 


АÇВÇС=В – множество прямоугольников.

 

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (задания ІІІ уровня)

 

1А. Даны множества: А – множество студентов университета, В – множество студентов дневного отделения, С – множество студентов-заочников, Д – множество студентов психолого-педагогического факультета, Е – множество студентов, изучающих английский язык. Изобразите данные множества и отношения между ними с помощью кругов Эйлера.

 

1Б. Найдите АÈВ, АÇВ, А\В, В\А, если: а) А=(3,8], В=(-1;+∞); б) А={х|х<18, хÎNо}, В={х||х|<4, хÎZ}; в) А – множество равнобедренных треугольников, В – множество прямоугольных треугольников. Изобразите полученные множества на числовой прямой (где это возможно).

 

2А. Даны множества: А – множество учащихся школы,
В – множество учащихся старших классов школы, С – множество учащихся младших классов школы, Д – множество отличников школы,
Е – множество спортсменов школы. Изобразите данные множества и отношения между ними с помощью кругов Эйлера.

 

2Б. Найдите АÈВ, АÇВ, А\В, В\А, если:

а) А=(-1, 5) В=[0, 4];

б) А={х|хÎR, 1≤х<3}, В={х|хÎR, 3≤х<5};

в) А – множество всех прямоугольников, В – множество всех ромбов. Изобразите полученные множества на числовой прямой (где это возможно).

 

3А. Известно, что Р, Q, S – подмножества универсального множества. Изобразите на кругах Эйлера множества: а) (Р\Q)'ÇS; б) (QÇР)'\ S; в) (РÇQ)ÇS'. Для каждого пункта сделайте свой чертеж.

 
 

 

 


3Б. Считая множество R универсальным, найдите дополнения до R следующих множеств: а) А={х|-∞<х≤1, хÎR}; б) В={у|-2≤у<+∞, уÎR}; в) С={z|-4<z≤1, zÎR}. Изобразите множества А, В, С и А', В', С' на числовой прямой.

 

4А. Пусть L, R, M – подмножества универсального множества. Изобразите на кругах Эйлера множества:

а) М'Ç( LÈR);

б) М'\ (LÇR);

в) (LÇR)'\ (R\M).

Для каждого пункта сделайте свой чертеж.

 

4Б. Считая множество R универсальным, найдите дополнения до R следующих множеств:

а) Р={х||х|≤6, хÎR};

б) Q={у|-∞<у<0, уÎR};

в) S={z|z>10, zÎR}.

Изобразите множества Р, Q, S и Р', Q', S' на числовой прямой.

 

5А. Известно, что А, В, D – подмножества универсального множества. Изобразите на кругах Эйлера множества:

а) (В|А)ÇD';

б) (В|D)'ÇА;

в) (А'ÈВ')ÇD.

 

 

5Б. Найдите множества АÈВ, АÇВ, А\В, В\А, если:

а) А=(0,+∞), В = [-4,6];

б) А={х|хÎR, 2≤х≤5}, В={х|хÎR, 5≤х<8};

в) А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников.

Изобразите полученные множества на числовой прямой (где это возможно).

 

0А. Пусть А, С, К - подмножества универсального множества. Изобразите на кругах Эйлера множества:

а) (АÈС)ÇК;

б)А'ÇС;

в) (А'ÇК) ÈС.

 

Решение:

а) (АÈС)ÇК

 
 


1) АÈС |

2) (АÈС)ÇК

 

б)А'ÇС

 
 


1) А'///|

2) А'ÇС º

 

 

в) (А'ÇК) ÈС

 
 


1) А' ///

2) А'ÇК \\\

3) (А'ÇК) ÈС

 

 

0Б. Найдите и покажите на числовой прямой множества а)А'; б)(АÈВ)'; в)(А\В)', г)А'ÈВ', если А={х||х|<2, хÎR}. В={у|3<х<+∞, хÎR}.

Решение: изобразим на числовой прямой множества А и В

 
 


а) А'= {х|х 2, х -2, хÎR}

 
 


б) (АÈВ)'={х|х -2, 2 х 3, хÎR}

 
 


в) А\В=А (А\В)'= А'={х|х 2, , х -2, хÎR}

 
 


г) А'ÈВ'={х|-∞<х<+∞, хÎR}.

 
 


ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (задания ІV уровня)

 

1А. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси (ОУ) и проходящую через точку А(-2, 3). Декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой. Рассмотрите случай, когда прямая параллельна оси (ОХ).

 

1Б. Даны множества А={х|-8≤х<3, хÎR}, В={х|0<х≤7, хÎR},
С={х|-1<х<5, хÎR}. Запишите и покажите на числовой прямой множества: а) А\В\С; б) АÇВ'; в) А'Ç(В\С); г) (АÇВ)'\С'.

 

2А. На координатной плоскости постройте прямоугольник, вершинами которого являются точки А(-2, 6), В(-2, -1), С(5, 6), Д(5, 1). Задайте построенное множество точек в виде декартового произведения.

 

2Б. Даны множества А=(-∞, 0), В=[2, 6], С=(-3, 10). Запишите и покажите на числовой прямой множества: а) АÈС\В; б) АÈ(С\В)'; в) В'Ç(АÈС); г) (В\А)'ÇС.

 

3А. Декартово произведение множеств Х и У задано множеством точек в прямоугольной системе координат. Запишите множества Х и У.

 
 
у


y

а) б) 3

5

-2 2 х

-1 3 х -2

 

3Б. Даны множества: А={х|-3<х<∞, хÎR}, В={х|-10≤х<9, хÎR}, С={х| |х|<4, хÎR}. Запишите и покажите на числовой прямой множества: а) А\СÈВ; б) АÇС'ÇВ'; в) А'È(В\С)'; г) (АÈВ)'\(ВÇС)'.

 

4А. Декартово произведение множеств Х и У задано множеством точек в прямоугольной системе координат. Запишите множества Х и У.

у у

а) 3 б)

1

-1 0 1 2 3 4 х 0 х

-2

 

4Б. Даны множества: А=[-9, 3), В=[1, +∞), С=(0, 4). Запишите и покажите на числовой прямой множества: а) (В\А)ÇС, б) (А\В')ÇС, в) (АÈВ)'\С', г) (А\В)'È(АÈС)'.

 

5А. Декартово произведение множеств Х и У задано множеством точек в прямоугольной системе координат. Запишите множества Х и У.

а) у б) у

               
   
 
     
 

 


-1- 1- х

х 0 1

0 1 2 6

 

5Б. Даны множества: А={х|0£х<5, хÎR}, В={х|0£х+∞, хÎR}, С={х|–-∞<х£0, хÎR}. Запишите и покажите на числовой прямой множества: а) А\В\С; б) АÇВ'; в) А'Ç(В\С); г) (АÇВ)'\С'.

 

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (задания V уровня)

 

1А. Докажите двумя способами, что для любых множеств А, В, С справедливы равенства: А\(ВÇС)=(А\В)È(А\С).

 

1Б. Выбрано некоторое множество, состоящее из натуральных чисел. Известно, что среди них имеется 100 чисел, кратных двум; 115 чисел, кратных трем; 120 чисел, кратных пяти; 45 чисел, кратных шести; 38 чисел, кратных десяти; 50 чисел, кратных пятнадцати; 20 чисел, кратных тридцати. Определите, сколько элементов в заданном множестве.

 

2А. Докажите двумя способами, что для любых множеств А, В, С справедливы равенства: А\(ВÈС)=(А\В)Ç(А\С).

 

2Б. Из 75 учащихся музыкального училища 30 умеют играть на баяне, 25 – на гитаре и 36 – балалайке. На баяне и гитаре умеют играть 7, на гитаре и балалайке – 9, на баяне и балалайке 13 человек. На всех трех инструментах играет 3 человека. Найдите: а) сколько человек умеет играть только на одном инструменте; б) сколько учащихся не играет ни на одном из вышеназванных инструментов.

 

3А. Докажите двумя способами, что для любых множеств А, В, С справедливы равенства: АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС).

 

3Б. Для того, чтобы написать заметку в стенгазету, студент взял в деканате следующие сведения: из 40 студентов 25 человек не имеют «троек» по педагогике, 28 – по математике, 31 – по психологии, 22 – по математике и психологии, 16 – по математике и педагогике, 16 – по психологии и педагогике, 12 человек учатся без «троек». Прочитав заметку, редактор сказал: «Данные явно неверные». Объясните, почему представленные сведения не могут быть верными.

 

4А. Докажите двумя способами, что для любых множеств А, В, С справедливы равенства: (А\В)'=А'È(АÇВ).

 

4Б. В бригаде 19 рабочих. Из них 9 токарей, 10 слесарей, 8 электросварщиков; 4 токаря могут работать слесарями, 3 токаря и 2 слесаря – электросварщиками. Сколько членов бригады владеет тремя специальностями?

 

5А. Докажите двумя способами, что для любых множеств А, В, С справедливы равенства: А'È(ВÈС)'= (АÇВ)'Ç(АÇС)'.

 

5Б. Из 100 студентов английский язык изучают 28 человек; немецкий – 30; французский – 42; английский и немецкий – 5; все три языка изучают 3 студента. Определите, сколько студентов не изучают ни одного языка? Сколько студентов изучают только один язык?

 

 

ТЕМА № 2. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

 

Высказывание. Простые и составные высказывания. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Таблицы истинности. Способы построения отрицания высказываний.

Литература: [1] с. 5-23; [2] с. 29-38; [3] с. 5-15; [4] с. 5-11; [5] с. 33-46; [6] с. 37-42; [7] с. 57-71.

 

 

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания 1 уровня)

 

1А. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Для высказываний определите их значения истинности:

а) число 25 делится на 5;

б) 23+7;

в) 3>7;

г) Минск – столица Беларуси;

д) все числа делятся на 8.

 

1Б. Постройте отрицание высказывания Р и определите его значение истинности:

а) Р: «Число 105 делится на 3»;

б) Р: «Число 23 не делится без остатка на 3»;

в) Р: «В прямоугольнике все углы прямые»;

г) Р: «Квадрат является ромбом».

 

2А. Какие из следующих предложений определяют высказывания? Определите их значения истинности:

а) существуют хÎR, что х+2<5; б) сегодня хорошая погода;

в) ты любишь математику?; г) существуют простые числа.

 

2Б. Сформулируйте отрицания высказываний, встречающихся в начальной школе:

а) Алеша моложе Тани; б) масса кролика меньше массы гуся;

в) тетрадь дороже карандаша; г) красный отрезок длинней синего.

 

3А. Среди данных предложений укажите высказывания. Определите их значения истинности:

а) число 2 – простое;

б) слово «делится» является глаголом;

в) в каком году родился А.С. Пушкин?

г) лось является парнокопытным животным.

 

3Б. Найдите значения истинности высказываний А и В и объясните, почему они не являются отрицаниями друг друга:

а) А: «Слово «сад» – прилагательное»,

В: «Слово «сад» – наречие»;

б) А: «Все треугольники являются равнобедренными»,

В: «Все треугольники не являются равнобедренными»;

в) А: «Некоторые слова могут быть разделены на слоги»,

В: «Некоторые слова не могут быть разделены на слоги».

 

4А. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Для высказываний определите их значения истинности:

а) на 0 делить нельзя; б) пусть всегда будет солнце!

в) 11–2=9; г) существуют хÎR, что х+3≥52.

 

4Б. Выясните какие из высказываний каждой пары являются отрицаниями друг друга:

а) А: «В книге 100 страниц», В: «В книге не более 100 страниц»;

б) А: «Эта гвоздика красная», В: «Эта гвоздика розовая»;

в) А: «Эта гвоздика красная», В: «Эта гвоздика не красная»;

г) А: «Данное слово − существительное»,

В: «Данное слово − прилагательное».

 

5А. Среди данных предложений укажите высказывания. Определите их значения истинности:

а) число а делится на 5;

б) существуют четные простые числа;

в) берегите мир!

г) некоторые высказывания не являются истинными.

 

5Б. Найдите значения истинности высказываний М и К и объясните, почему они не являются отрицаниями друг друга:

а) М: «Все студенты – отличники»,

N: «Все студенты – не отличники»;

б) М: «Некоторые числа записываются с помощью цифр»,

N: «Некоторые числа не записываются с помощью цифр»;

в) М: «25 – отрицательное число»,

N: «25 – четное число».

 

0А. Среди данных предложений укажите высказывания. Определите их значения истинности:

а) брусника – растение, характерное для хвойного леса;

Решение: Это высказывание. Оно истинно, т.к. брусника является растением, характерным для хвойного леса.

б) некоторые высказывания являются ложными;

Решение: Это высказывание истинно, т.к. нам известно, что существуют истинные высказывания и существуют ложные.

в) 25+х≤7;

Решение: Это предложение не является высказыванием, т.к. нельзя определить его истинность.

0Б. Постройте отрицание высказывания Q и определите его значение истинности:

а) Q: «Существуют инопланетные цивилизации»;

: «Не верно, что существуют инопланетные цивилизации» (ложно).

б) Q: «Сумма внутренних углов треугольника равна 180о»;

Решение:` : «Не верно, что сумма внутренних углов треугольника равна 180º» (ложно).

в) Q: «Число 21 делится на 2»

Решение: : «Не верно, что число 21делится на 2» (истинно).

.

 

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания II уровня)

 

1А. Дано высказывание А: «0 – целое число». Приведите пример такого высказывания В, чтобы конъюнкция высказываний А и В была: а) истинной, б) ложной; чтобы импликация высказываний А и В была: в) истинной, г) ложной.

 

1Б. Выясните логическую структуру следующих высказываний и найдите их значения истинности:

а) число 5 – целое или положительное;

б) 16 кратно 2 и кратно 5;

в) если у параллелограмма АВСD все стороны равны, то этот параллелограмм – ромб.

 

2А. Дано высказывание С: «Число 3 больше числа 2 на 1». Можно ли привести пример такого высказывания D, чтобы конъюнкция высказываний С и D была: а) ложной, б) истинной; чтобы импликация высказываний С и D была: в) истинной, г) ложной.

 

2Б. Выясните логическую структуру следующих высказываний и найдите их значения истинности:

а) слово «группа» - прилагательное или глагол;

б) если число 12 кратно 4, то оно кратно 2;

в) число 7 – натуральное и однозначное.

 

3А. Дано высказывание В: «Число 7 – четное». Приведите пример такого высказывания С, чтобы дизъюнкция высказываний В и С была: а) истинной, б) ложной; чтобы импликация высказываний В и С была: в) истинной, г) ложной.

 

3Б. Среди следующих высказываний выделите элементарные и составные высказывания, а также укажите их значения истинности:

а) число 17 не делится на 5;

б) всякий равнобедренный треугольник прямоугольный и равносторонний;

в) =2;

г) если число 42 делится на 2, то оно четное.

 

4А. Определите значения истинности высказываний А, В, D, если:

а) А Ù «В слове «стол» 4 звука» ≡ И;

б) «Вода в море пресная» Û В ≡ Л;

в) D Þ «При 0о вода замерзает» ≡ И.

 

4Б. Среди следующих высказываний выделите элементарные и составные высказывания, а также укажите их значения истинности:

а) число 13 простое и делится на 2;

б) 122 четное число или нечетное;

в) в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90о;

г) если сумма цифр числа 75 делится на 3, то число делится на 3».

 

5А. Определите значения истинности высказываний Е, F, G, если:

а) Е Þ «Воздух хорошо проводит тепло» ≡ Л;

б) «Синус любого угла меньше 1» Û F ≡ И;

в) G Ú «Слово «река» – существительное» ≡ Л.

 

5Б. Среди следующих высказываний выделите элементарные и составные высказывания, а также укажите их значение истинности:

а) слово «пальто» не склоняется;

б) если арбуз – бахчевая культура, то Минск – столица Беларуси;

в) гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в

окружность, является ее диаметром;

г) все реки текут.

 

0А. Выясните логическую структуру следующих высказываний и найдите их значение истинности:

а) «Если число 10 заканчивается цифрой 0, то оно делится на 5»;

Решение: АÞВ – импликация высказываний, где А – условие, В – заключение. А: «Число10 заканчивается цифрой 0» – истинно; В: «Это число делится на 5» – истинно. Тогда АÞВ – истинно по определению импликации.

б) «Карась – морская или речная рыба»;

Решение: АÚВ – дизъюнкция высказываний А: «Карась – морская рыба» - ложно. В: «Карась – речная рыба»- истинно. Тогда АÚВ – истинно по определению дизъюнкции.

в) «Число 13 четное и натуральное»;

Решение: АÙВ – конъюнкция высказываний. А: «Число 13 – четное» – ложно. В: «Число 13 – натуральное» – истинно. Тогда АÙВ – ложно по определению конъюнкции.

 

0Б. Определите значения истинности высказываний А, В, С, если:

а) «sin 90о = 0» Û А ≡ И;

Решение: Дана эквиваленция 2-х высказываний, которая истинна. Известно, что эквиваленция двух высказываний истинна при одинаковых значениях истинности входящих в него высказываний. А поскольку высказывание «sin 90о = 0» – ложно, то и высказывание А – ложно.

б) В Þ «тела при нагревании не расширяются» ≡ Л;

Решение: Дана импликация 2-х высказываний, которая ложна. Импликация двух высказываний истинна во всех случаях, кроме одного, когда первое высказывание истинно, а второе – ложно. Высказывание «тела при нагревании не расширяются» ложно, значит, высказывание В – истинно.

в) С Ù «укроп – растение семейства зонтичных» – И;

Решение: Дана конъюнкция 2-х высказываний. Конъюнкция высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Поскольку «укроп – растение семейства зонтичных» истинное высказывание, то высказывание С – истинно.

 

 

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания III уровня)

 

1А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) (АÙВ)ÙС; б)

 

1Б. Даны составные высказывания:

а) «Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А»;

б) «Числа m и n взаимно просты тогда и только тогда, когда у них нет общих делителей».

Запишите данные высказывания в виде логической формулы. Сформулируйте каждое высказывание в виде конъюнкции двух взаимно-обратных импликаций.

 

2А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) АÙ , б) АÚВÞС.

 

2Б. Даны составные высказывания:

а) «Четырехугольник АВСD является параллелограммом тогда и только тогда, когда его противоположные стороны попарно параллельны»;

б) «Высказывание В является отрицанием высказываниz А тогда и только тогда, когда А и В принимают противоположные значения истинности».

Запишите каждое высказывание в виде логической формулы. Сформулируйте каждое высказывание в виде конъюнкции двух взаимно-обратных импликаций.

 

3А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) СÞ (АÙВ), б) АÞ ( ÚВ).

 

3Б. Даны высказывания:

а) «3 и 8 – однозначные числа»;

б) «Собака – домашнее или дикое животное».

Запишите каждое высказывание в виде логической формулы. Сформулируйте отрицания данных высказываний двумя способами, используя законы де Моргана. Определите значения истинности данных высказываний и их отрицаний.

 

4А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) АÞ(АÙ ), б) АÞ ( ÙС).

 

4Б. Даны высказывания:

а) «Картофель и тыква – овощи»;

б) «Число 0,7 – натуральное или целое».

Запишите каждое высказывание в виде логической формулы. Сформулируйте отрицания данных высказываний двумя способами, используя законы де Моргана. Определите значения истинности данных высказываний и их отрицаний.

 

5А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) ( ÙВ) ÞС, б) АÞ( ÙВ).

 

5Б. Даны высказывания:

а) «Число 17 – четное или делится на 5»;

б) «Свекла растет в поле и в огороде».

Запишите каждое высказывание в виде логической формулы. Сформулируйте отрицания данных высказываний двумя способами, используя законы де Моргана. Определите значения истинности данных высказываний и их отрицаний.

 

0А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) АÙВ Þ , б) Ú ÞС.

Решение:

а) АÙВ Þ ,

А В С АÙВ (АÙВ)Þ
и и и и л л л л и и л л и и л л и л и л и л и л и и л л л л л л л и л и л и л и л и и и и и и и

Решение:

б) Ú ÞС.

  А В С Ú Ú ÞС
  и и и и л л л л и и л л и и л л и л и л и л и л л л л л и и и и л л и и л л и и л л и и и и и и и и и л и л и л

 

0Б. Даны составные высказывания:

а) «Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда имеет место с2=а2+в2»; б) «Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр в записи числа делится на 3». Запишите данные высказывания в виде логической формулы. Сформулируйте каждое высказывание в виде конъюнкции двух взаимно-обратных импликаций.

Решение:

а) А: «Треугольник является прямоугольным» В: «с2=а2+в2»

АÛВ – данное высказывание АÛВº(АÞВ)Ù(ВÞА)

(АÞВ)Ù(ВÞА): «Если треугольник прямоугольный, то с2=а2+в2 и если с2=а2+в2, то треугольник является прямоугольным».

б) А: «Число делится на 3».

В: «Сумма цифр в записи числа делится на 3».

АÛВ º (АÞВ)Ù(ВÞА)

(АÞВ)Ù(ВÞА): «Если число делится на 3, то сумма цифр в записи числа делится на 3, и если сумма цифр в записи числа делится на 3, то число делится на 3».

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания IV уровня).

 

1. Составьте таблицу истинности ( Þ(УÙ ))Þ(( ÚХ)Þ ).

2. Составьте таблицу истинности ((ХÙ )ÞУ)Ù( Þ( ÚZ)).

3. Составьте таблицу истинности (ХÞ(УÚ ))Þ(( ÙZ)Þ ).

4. Составьте таблицу истинности

5. Составьте таблицу истинности

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания V уровня).

 

1. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) Û ; б) Ú ; в)

2. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) ; б) ( Þ ) Þ ; в) Ú Û Ú .

 

3. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) АÚАÛА; б) АÞВÛ Þ .

 

4. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) Þ(АÞВ); б) ((АÞВ)ÞА)ÛА.

 

5. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) (АÛВ)Û(ВÛА); б) (АÞВ)Ú(ВÞА).