ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ РЕЗИСТОРОВ

Эквивалентные преобразования резисторов в цепях постоянного тока

 

Методические указания к лабораторной работе
по дисциплине “Электротехника”

Казань 2009

Цель работы -опытная проверка правил эквивалентного преобразования резисторов при последовательном, параллельном и смешанном соединениях, а также преобразования треугольника резисторов в эквивалентную звезду и наоборот. Применение метода эквивалентных преобразований для расчета электрических цепей постоянного тока.

Основные понятия и расчетные соотношения

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Применение законов Ома и Кирхгофа позволяет преобразовать сложные электрические цепи в более простые, заменяя отдельные участки цепи, содержащие несколько элементов, одним эквивалентным элементом. Таким образом, эквивалентные преобразования позволяют заменить исходную цепь, содержащую большое число элементов, более простой, с меньшим числом элементов, но эквивалентной исходной цепи.

Цепи считаются эквивалентными, если при их взаимной замене токи и напряжения на интересующих нас участках цепи остаются неизменными.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ РЕЗИСТОРОВ

Последовательное соединение нескольких резисторов можно заменить одним резистором с сопротивлением R ЭКВ (рис. 1.1).

Рис.1.1. Последовательное соединение сопротивлений

По второму закону Кирхгофа напряжение U складывается из падений напряжения на каждом из резисторов R1, R2, и R3, т.е.

U = U1 +U2 +U3. (1.1)

 

Так как ток I является одинаковым для всех резисторов, то (1.1) можно записать в виде

, (1.2)

откуда

. (1.3)

В общем виде эквивалентное сопротивление при последовательном соединении элементов цепи равно сумме сопротивлений отдельных элементов:

, (1.4)

где n - число резисторов.

Пример: Определить эквивалентное сопротивление цепи из трех резисторов (R1= 1 Ом, R2=2 Ом и R3=3 Ом) соединенных последовательно.

По формуле (1.4) получаем RЭКВ=6 Ом.

При последовательном соединении резисторов их эквивалентное сопротивление всегда больше большего из сопротивлений этих резисторов.

При последовательном соединении резисторов ток в цепи одинаков:

. (1.5)

Напряжение Ui и мощность Pi на зажимах последовательно соединенных элементов распределяется пропорционально их сопротивлениям, т. к . Ui = IRi, ,а мощность, подводимая к цепи, равна сумме мощностей на отдельных элементах:

. (1.6)

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ РЕЗИСТОРОВ

При параллельном соединении резисторов (рис.1.2) все элементы цепи, в том числе и эквивалентное сопротивление RЭКВ пар находятся под одним и тем же напряжением U.

Рис.1.2. Параллельное соединение сопротивлений

Для цепи (рис. 2) по первому закону Кирхгофа

I = I1+ I2 + I3, (1.7)

где по закону Ома

. (1.8)

В то же время для эквивалентной схемы

. (1.9)

Подставляя значения токов (1.8) и (1.9) в (1.7) и сокращая на U , получим

. (1.10)

В общем случае для n резисторов при параллельном соединении

. (1.11)

Для двух резисторов соединенных параллельно эквивалентное сопротивление записывают так:

. (1.12)

 

Пример: Определить эквивалентное сопротивление цепи из трех резисторов (R1= 3 Ом, R2=3 Ом и R3=3 Ом) соединенных последовательно.

По формуле (1.10) получаем RЭКВ=1 Ом.

При параллельном соединении резисторов их эквивалентное сопротивление всегда меньше меньшего из сопротивлений этих резисторов.

При параллельном соединении элементов часто пользуются не сопротивлениями элементов, а их проводимостью. Как известно электрической проводимостью, называется величина, обратная сопротивлению. Она обозначается G и измеряется в сименсах (См) ; 1См = 1 / 1 Ом.

Тогда уравнение (1.10) можно переписать для проводимостей как:

Gэкв пар = G1 + G2 + G3, (1.13)

или в общем виде для n – резисторов

. (1.14)

Следовательно, при параллельном соединении элементов электрической цепи эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей ее отдельных параллельно включенных ветвей.

Ток в параллельных ветвях цепи, согласно (1.8), распределяется обратно пропорционально их сопротивлениям.

Напряжение на всех элементах параллельной цепи одинаково и определяется выражением (1.15):

. (1.15)

Мощность, подводимая к цепи с параллельно включенными резисторами, равна сумме мощностей ее отдельных элементов:

. (1.16)