Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса.
Пусть состояние эк-ки в каждый период t характеризуется объемом нац.дохода 
, кот делится на потребление 
, инвестиции 
и гос.расходы 
:
(1)
Предположим, что гос.расходы явл автономными, т.е. не определяются в рамках модели и заданы экзогенно. Т.о. при всех t имеет место равенство: 
, где 
- положительная константа.
Решения дом.хоз-в по поводу объема потребительских расходов описываются кейнсианской ф-ей потребления:
(2)
- автономное потребление, 
– предельная склонность к потреблению, 
.
Предполагается, что инвестиции делятся на автономные и индуцированные. Последние в момент времени t предполагаются пропорциональными приросту ВВП за предыдущий период t-1. Т.о. имеет место соотношение:
(3). Коэффициент r – акселератор (положительный).
Подставляя в (1) (2) и (3), получим:
(4)
Где A – общая сумма автономных расходов:
(5)
Величина A показывает общую сумму автономных расходов всех эк.агентов.
Стационарное состояние динамической системы, описываемой урав-ем (4) показывает долгосрочный уровень равновесного нац.дохода:
.
Для решения линейного разностного урав-ия второго порядка (4), необходимо найти корни характеристического уравнения:
(6)
Рассмотрим дискриминант:
Корни будут вещественными тогда и только тогда, когда выполнено неравенство: 
. В противном случае корни будут мнимыми. Качественный хар-р траектории модели полностью определяется парой параметров (c, r).
Проведем анализ устойчивости стац.траектории модели Самуэльсона-Хикса.
1.Случай вещ.корней.
Определим знак характер.многочлена ур-ния при 
и 
. Т.к. в обеих точках характер.многочлен принимает положит.значения, можно утверждать, что имеет место одна из 3 альтернатив:
1)Оба корня лежат левее интервала (0;1)->возрастающая ф-я при 0 и 1.
2)Оба корня лежат внутри интервала (0;1)->при 0 убывающая, при 1 возрастающая.
3)Оба корня лежат правее интервала (0;1)->убывающая ф-я при 0 и 1.
Чтобы опр-ть, какой случай имеет место, следует определить знаки первой производной 
на концах отрезка [0;1]. Дифференцируя, имеем: 
. При производная всегда отрицательна: 
. При производная 
. Т.о. если 
, оба корня характер.урав-ия принадлежать интервалу (0;1). В этом случае динамика устойчива и не обнаруживает циклов. Если же 
, то 
, что ведет к неустойчивости стац.траектории.
2.Случай мнимых корней.
Согласно т.Виета: 
. С другой стороны, мнимые корни квадратного уравнения образуют комплексно-сопряженную пару, и, =>, имеют общий модуль, равный 
. Т.о., условие устойчивости состоит в выполнении неравенства: 
.
Итак, установлено, что характер траектории модели Самуэльсона-Хикса полностью определяется парой параметров c и r. Это означает, что каждой из возможных ситуаций соответствует область плоскости (c;r).
Область I – устойчивость циклических траекторий;
Область II – неустойчивые циклические траектории;
Область III – неустойчивые ациклические траектории;
Область IV – устойчивые ациклические траектории.