ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ НАПРЯЖЕНИЯ РАССЕЯНИЯ

Напряжение рассеяния определяется по основной формуле напряжения трансформатора

Uр = 4,44fωФр•10-4 в,

где Фр — общий поток рассеяния, проходящий вдоль обмоток и сцепленный с одним витком обмотки.

Индукция Вр в любой точке магнитного поля пропорциональна намагничивающей силе (ампер-виткам), охватывающей эту точку или, для трансформатора, цилиндрическую поверхность, проведенную через какую-либо магнитную линию потока рассеяния.

На рис. 5.3 изображены в разрезе обе обмотки и диаграмма распределения магнитной индукции, поясняющие вывод формулы напряжения рассеяния.

Как было сказано выше, первичная и вторичная намагничивающие силы равны между собой и направлены противоположно, т. е.

I1ω1+ I2ω2 = 0.

По краям зоны обмоток (точки О1 и О2) индукция равна нулю, так как нет ампер-витков, охватывающих силовые линии, находящиеся на крайних поверхностях обмоток. В толще катушек индукция будет увеличиваться по направлению от края катушки к главному каналу,

потому что поток создается теми ампер-витками, которые охватывают данную магнитную линию или с которыми сцеплена магнитная линия.

Наибольшая индукция потока рассеяния будет в главном канале и она будет одинаковой по всей ширине канала. Обычно предполагается, чтобы не усложнять хода рассуждений, что ампер-витки по сечению обмотки распределены с равномерной плотностью. Тогда распределение ампер-витков, а следовательно, и индукции Вр в радиальном направлении зоны обмоток может быть изображено диаграммой в виде трапеции, называемой трапецией Каппа, как это показано на рис. 5.2 и 5.3.

Произведение ωФр= ωBРF называется потокосцеплением. Так как значения ω и ВР являются величинами переменными, то общее потокосцепление определяется как сумма элементарных потокосцеплений

ωФр=Σ ωХBХdFX

Рис. 5.3. Эскиз, поясняющий вывод формулы напряжения рассеяния

Для облегчения расчет производится раздельно по каждому из трех отдельных участков зоны обмоток с радиальными размерами а1, а и а2, для которых находится значение потокосцепления.

На среднем участке а (главного канала) ампер-витки и поток постоянны по величине, так как ω и Вр не меняют своих значений, поэтому потокосцепление на этом участке будет

(ωФр)a = ωBРFa = ωBРπ Dcpa,

где Fa= πDcpa — площадь сечения участка а, см2;

Dcp — средний диаметр главного канала рассеяния, см.

Любая магнитная линия участка а будет сцеплена со всеми витками либо первичной обмотки I, либо вторичной обмотки II.

Расчет потокосцепления на участке a1 производится путем интегрирования элементарных потокосцеплений на этом участке.

Выделим в обмотке I элементарную зону в виде силовой трубки (цилиндра) с толщиной стенки dx, на расстоянии х от точки O1, находящейся на крайней поверхности обмотки I, которая будет являться началом координат.

Магнитный поток этой трубки

dФx = BxdFx = Вp (х/а1)π (D1— a1 + 2x) dx.

где D1 — средний диаметр обмотки I, см.

Этот магнитный поток сцеплен с витками ωx= ω1(х/а1) , расположенными на рис. 5.3 влево от зоны dx.

Следовательно, общее потокосцепление на участке a1

Для удобства интегрирования полученный интеграл разбивается на два интеграла. В первый интеграл из членов, заключенных в скобки, войдут члены D1—a1, а во второй — 2х.

После вынесения постоянных величин за знак интеграла получим:

1)

2)

Отсюда потокосцепление на участке ах будет равно сумме полученных результатов, т. е.

Аналогичным образом определяется общее потокосцепление на участке а2 (приводится без вывода)

где D2— средний диаметр обмотки II, см.

Число витков ω2 обмотки II приведено к числу витков да, обмотки I через обычную формулу приведения

ω'2 = ω2 E1/E2 = ω1.

Таким образом, общее потокосцепление всей зоны обмоток будет равно сумме потокосцеплений трех участков, т. е.

ωФр = (ωФр)а + (ωФр)а1 + (ωФр)а2 = ω1Вpπ[(DСРа +(D1+a1/2)(a1/3) +(D2 - a2/2)(a2/3)]

У силовых трансформаторов, класс напряжения которых не превышает 35 кв, радиальные размеры обмоток ВН и НН мало отличаются друг от друга, поэтому с достаточной для практических расчетов точностью можно положить, что a1≈a2. Это сильно упростит полученное выражение для потокосцепления.

Раскрыв круглые скобки и заменив D1 и D2 соответственно через Dcp—а—а1 и Dcp+a+a2, будем иметь:

ωФр = ω1Вpπ[(DСРа +(DСР –a - a1/2)(a1/3) +(DСР +a + a2/2)(a2/3)]=

ω1ВpπDСР [(a+ (a1+a2)/3)) + (a/3)(a2 – a1)+ (a22 - a21) /6]

Легко видеть, что при a1≈a2, т. е. а2 - a1≈0, два последних члена малы, и поэтому ими можно пренебречь. Благодаря этому выражение в квадратных скобках значительно упрощается:

ωФр = ω1ВpπDСР (a+ (a1+a2)/3)= ω1ВpπDСРΔ

где Δ= a+ (a1+a2)/3 называется приведенным, или редуцированным каналом рассеяния.

В тех же случаях, когда размеры a1 и a2значительно отличаются друг от друга, как, например, в высоковольтных трансформаторах, необходимо выражение в квадратных скобках вычислять точно, без указанного упрощения.

Для воздушной (т. е. немагнитной) среды справедлива следующая формула зависимости индукции от намагничивающей силы (ампер-витков) и длины магнитного пути:

Вp=(0,4π√2Iω)/lP

После подстановки этого выражения формула потокосцепления примет вид

_

ωФр =(0,4π2√2I1ω21DСРΔ)/ lP

Это выражение следует подставить в формулу напряжения

UP=4,44fωФр10-4 =(4,44f0,4 π2√2 I1ω21DСРΔ•10-4)/ lP , в

Сделав замену lp=H0/K0 и 4,44 = π2√2 и выразив напряжение

рассеяния в % от номинального напряжения (умножив на 100), получим

UP=100/U1= (0,8π3f I1ω21DСРΔKp•10-4)/H0=(2480f I1ω21DСРΔKp•10-4)/H0•U1, %

И, наконец, сделав последнюю подстановку f = 50 гц и U1/ω1 =eω в/виток, окончательно получим практическую формулу для расчета напряжения рассеяни

UP= IωDСРΔKp/806eωH0, %

При расчете трансформатора обычно бывает необходимо получить заданное значение напряжения рассеяния.

Рассмотрение полученной формулы показывает, что при необходимости изменения расчетного значения Uр наиболее целесообразно в первую очередь изменять размер а — ширину главного канала рассеяния. Если это почему-либо сделать нельзя (например, по изоляционным соображениям или если размер а надо слишком намного увеличивать), то следует либо изменять высоту обмотки Но, либо изменять число витков w, хотя это требует уже полного перерасчета трансформатора.