ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ПАРАМЕИРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

ЗАДАЧА АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Постановка задачи

 

Любое сложное по форме электрическое воздействие можно разложить на ряд простых , например, гармонических колебаний. Этот ряд называют спектром воздействия. Для линейных цепей применим принцип суперпозиции (наложения). Суть его в том, что если воздействие представлено суммой воздействий, то отклик будет также состоять из суммы откликов, полученных от каждого воздействия в отдельности.

Этот принцип лежит в основе многих методов анализа (расчета) линейных цепей, в частности, в спектральном методе (метод Фурье). В связи с этим нужно научиться рассчитывать цепь при воздействии гармонической функции.

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что если воздействие гармоническое x(t) = Хm∙cos(ωt + φX) с частотой w, то и отклик получится гармоническим y(t) = Ym∙cos(ωt + φY) с той же частотой w.

Cледовательно, решение задачи по расчету цепи отклика y(t) сводится к определению только двух из трех параметров - Ym и φY.

 

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ПАРАМЕИРЫ

 

 
 

Если u1(t) – гармоническое напряжение (рис. 2.1), то математическая модель его мгновенного значения имеет вид

u1 (t) = Umcos (ωt + φ01) = U cos (ωt + φ01) (2.1)

 

Параметры Um и U = Um/ называют соответственно амплитудойи действующим значениемгармонического колебания.

Величина ω = 2π·f [рад/с] называется угловой частотой,где f = 1/T[Гц]–циклическая частота(просто частота), величина, обратная периоду колебаний T[с]. Эти параметры показаны на рис. 2.1.

Аргумент косинуса θ(t) = (ωt + φ01) называется полной фазой(просто фаза) гармонического колебания.

Величина φ01, равная значению фазы θ(0) при t = 0 называется начальной фазой. Она определяет значение гармонической функции при t = 0, т.е. в начале координат: u(0) = Um∙cos(φ01).

Кроме того, по значению начальной фазы можно оценить положение максимального значения косинусоидальной гармонической функции на оси времени. Пусть t = t01 – время, при котором гармоническая функция принимает максимальное значение u(t01) = Um. Это значит, что полная фаза в момент времени t01 равна нулю θ(t01) = (ωt01 + φ01) = 2πn. Решая это уравнение, получим (см. рис.2.1) t01 = –φ01/ω. (2.2)

Таким образом, положение максимума на оси времени определяется значением и знаком начальной фазы. Если φ01 > 0, кривая косинуса смещена влево от начала координат (см. рис. 2.2), если φ01 < 0, то – вправо.

По численному значению φ01 можно оценить положение гармонической функции по оси времени. На рис. 2.2 изображены графики двух гармонических напряжений одинаковой частоты, которые смещены относительно начала координат в разные стороны. На основании формулы (2.2) можно записать выражения мгновенных значений этих напряжений (см. рис.2.2)

u1 (t) = Umcos (ωt + φ01), u2 (t) = Umcos (ωt – φ02).

Если увеличить значения начальных фаз двух напряжений, то первая кривая сместится влево, а вторая – вправо.

Большое значение в расчетах линейных цепей при гармоническом воздействии имеет сравнение двух гармонических функций по значению начальных фаз, т. е. по взаимному положению кривых на оси времени. Если за начала отсчета функции принять точку максимального значения, т. е. t0 (рис. 2.1), то та функция, которая на оси времени в сторону увеличения встречается первой, опережает по фазе вторую. На рис. 2.2 показан случай, когда u1 (t) опережает u2 (t).

Эту оценку принято делать по значению параметра – разность фаз Ψ

Ψ = φ01 – φ02 = (t01 – t02)/ ω (2.3)

Если Ψ > 0,топервая функция (слева) опережает вторую (справа) или вторая отстает от первой (см. рис. 2.2).

Если Ψ < 0,топервая функция отстает по фазе от второй.

Если Ψ = 0– функции совпадают по фазе.

Если Ψ = ±π, то функции противофазны.

Если Ψ = ±π/2, то колебания находятся во временной квадратуре.