Связь между различными системами параметров и их свойства
Системы уравнений (5.1), (5.3), (5.5), (5.7) являются равносильными, поэтому коэффициенты уравнений должны быть связаны между собой с помощью элементарных алгебраических соотношений. Для определения этих соотношений соответствующие (заданные) уравнения должны быть разрешены относительно тех напряжений и токов, которые будут определять новую (искомую) систему уравнений. Рассмотрим пример.
Пусть дана система уравнений в Z-параметрах (5.1). Данную систему можно решить относительно Ì1 и Ì2 с помощью формул Крамера:
.
Раскрывая эти выражения, получаем систему уравнений
где
(5.8)
Выражения (5.8) представляют собой формулы перехода между элементами Z-матрицы и Y-матрицы четырехполюсника. Аналогично можно показать преобразование других систем параметров. В литераторе по теории цепей приводятся таблицы соотношений между различными системами параметров.
Отметим основные свойства первичных параметров четырехполюсников.
1. Первичные параметры определяются только схемой четырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей.
Пример. На входе Г-образного четырехполюсника (см. рис. 5.3), подключенного к внешним цепям, действует напряжение Ú1 и ток Ì1, а на выходе напряжение Ú2 и ток Ì2. Определим A-параметры четырехполюсника.
В соответствии со вторым и первым законами Кирхгофа Ú1 = Ú2 + Ì1Z1и Ì1 = Ú2 /Z2 + Ì2.
Подставляя выражение для тока Ì1 в первое равенство, получаем
Ú1 = (1 + Z1/Z2)Ú2 + Z1Ì2; Ì1 = (1/Z2) Ú2 + Ì2.
Сравнивая эти уравнения с уравнениями в системе A-параметров (5.7), находим A-параметры этой цепи: A11 = 1 + Z1/Z2, A12 = Z1, A21 = 1/Z2, A22 = 1. Как видно,A-параметры определяются только элементами Г-образного четырехполюсника и не зависят от внешних цепей.
2. Между различными системами первичных параметров существует однозначная связь.
Это свойство доказано выражениями (5.8).
3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не более чем тремя независимыми параметрами.
Действительно, в многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаимные (общие) сопротивления Zkm и Zmл k-го и m-го контуров равны между собой. Следовательно, Y21 = Y12. Зная связь между Y- и Z-параметрами (см. (5.8)), можно установить, что Z21 = Z12.
Далее можно показать (см. пример, решенный в первом свойстве), что для A-параметров справедливо соотношение
, т.е определитель A-матрицы равен единицы.
Наконец, аналогичным образом можно найти, что H12 = –H21.
Таким образом, независимыми параметрами четырехполюсника могут быть:
Z11, Z12= Z21, Z22, Y11, Y12= Y21, Y22, H11, H12= –H21, H22, и любые три из A11, A12, A21, A22.
4. При изменении направления передачи энергии через четырехполюсник во всех выражениях параметров коэффициенты A11 и A22 меняются местами.
5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только два независимых первичных параметра.
Симметричным четырехполюсником называется такой, при котором перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов во внешних цепях. Следовательно, если поменять местами номера внешних полюсов, то в основных уравнениях четырехполюсника значения внешних токов и напряжений не изменятся. А это значит, что Z11 = Z22, Y11 = Y22, A11 = A22 и ΔH = 1.