Структурная схема двигателя
Приведение к единой оси моментов сопротивления
Приведение моментов сопротивления от одной оси вращения к другой
может быть произведено на основании энергетического баланса системы. Если
скорость поступательного движения υ, м/ с, а угловая скорость вала двигателя
ωД, рад/ с, то
сила сопротивления производственного механизма
Скорость вращения механизма равна
Отсюда приведенный к скорости вала двигателя момент сопротивления
равен:
Приведение к единой оси моментов сопротивления
Приведение моментов инерции к одной оси вращения основано на том,
что суммарный запас кинетической энергии движущихся частей привода,
отнесенный к одной оси, остается неизменным. При наличии вращающихся
частей, обладающих моментами инерции и угловыми скоростями
ωД , ω1, ω2, … , ωn, можно заменить их динамическое действие действием
одного момента инерции, приведенного, например, к скорости вала двигателя. В таком случае можно написать
где JД — момент инерции ротора двигателя и других элементов (муфты,
шестерни и т. п.), установленных на валу двигателя.
Система дифференциальных уравнений, описывающих объект
Система дифференциальных уравнений, описывающих объект, имеет
следующий вид:
Обозначим
; 
; 
; 
; 
; 
Получим матицы. А и В
Согласно формуле для эквивалентной операторной передаточной матрицы по управляющим воздействиям получим следующее выражение:
(рис 1)
Уравнение параметров состояния
Важным этапом при анализе и синтезе дискретной системы управления по методу параметров состояния является преобразование исходного векторно-матричного дифференциального уравнения объекта (2) в алгебраическое векторно-матричное уравнение параметров состояния. Рассмотрим, как по исходному дифференциальному уравнению объекта получить уравнение параметров состояния
, 
- функция веса
где L-1 — оператор обратного преобразования Лапласа. 
результаты 
) и 
показанные в листинг моделирования
Обобщение синтеза системы на случай 3 датчикови 1 управляющих воздействий
По формулам 
найдем матрицу σ
Где 
N=3; K=N-1=2
σ 
где 
Найдём матрицу 
Элементы матрицы 
- 
обозначены элементы обратной матрицы по отношению к основной.
Найдем алгоритм дискретного счетно-решающего устройства, определим матрицу β(T) из условия, что датчики производят измерения выходных координат на каждом шаге дискретности и матрица датчиков единичная.
;
Листинг программы в Матлаб
>> syms A W_2 B T I_1 I_2 p x_9 E Opf tau b11 b12 b21 b32 W L at pi R1 R2 opr x_1 x_2 x_3 m_11 m_21 m_31 t Bet_11 Bet_12 Bet_13
A=[1; 0; 0]
B=[b11,b21,0;b21,0,0;0,b32,0]
I_1=[1/p,0,0;0,1/p,0;0,0,1/p]
E=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]
Opf=((E-I_1*B)^(-1))*(I_1*A)
I_2=[p 0 0;0 p 0;0 0 p]
L=((I_2-B)^(-1))
W=iLaplace(L,t)
t=1
pi=W*A
at=int(pi,0,T)
R_1=(W^(-1))*at
R_2=(W^(-2))*at
s=[at R_1 R_2]
opr=det(s)
x_1=s
x_1(:,1)=[]
x_1(1,:)=[]
m_11=((-1)^(2))*det(x_1)
x_2=s
x_2(:,1)=[]
x_2(2,:)=[]
m_21=((-1)^(3))*det(x_2)
x_3=s
x_3(:,1)=[]
x_3(3,:)=[]
m_31=((-1)^(4))*det(x_3)
Bet_11=-m_11/opr
Bet_12=-m_21/opr
Bet_13=-m_31/opr
T=1
b11=-0.08
b21=3.46
b32=1
Bet_11=1/2/t*(-5*exp(b11*t)+5*exp(b11*t)*exp(-b11*t)+2*b11*t*exp(b11*t)^2+3-3*exp(-b11*t))/(exp(-b11*t)-1)/(exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t)+1)
Bet_12=-1/2/b21/t^2*(-2*exp(b11*t)+5*b11*t*exp(b11*t)+2-3*b11*t)/(exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t)+1)
Bet_13=-1/b21*(exp(b11*t)-1)/t^2*b11/b32/(exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t)+1)
A =
B =
[ b11, 0, 0]
[ b21, 0, 0]
[ 0, b32, 0]
I_1 =
[ 1/p, 0, 0]
[ 0, 1/p, 0]
[ 0, 0, 1/p]
E =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Opf =
1/(p-b11)
b21/(p-b11)/p
1/p^2*b21*b32/(p-b11)
I_2 =
[ p, 0, 0]
[ 0, p, 0]
[ 0, 0, p]
L =
[ 1/(p-b11), 0, 0]
[ b21/(p-b11)/p, 1/p, 0]
[ 1/p^2*b21*b32/(p-b11), b32/p^2, 1/p]
W =
[ exp(b11*t), 0, 0]
[ b21/b11*(-1+exp(b11*t)), 1, 0]
[ b21*b32*(-1/b11*t+1/b11^2*(-1+exp(b11*t))), b32*t, 1]
t =
pi =
exp(b11*t)
b21/b11*(-1+exp(b11*t))
b21*b32*(-1/b11*t+1/b11^2*(-1+exp(b11*t)))
at =
(-1+exp(b11*T))/b11
-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2
-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3
R_1 =
1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11
-b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2
b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3
R_2 =
1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11
(-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2
(b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3
s =
[ (-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]
[ -b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]
[ -1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]
opr =
-(-1+exp(b11*T))*b21^2*b32*T^2/b11^3*t*(1+exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t))/exp(b11*t)^2
x_1 =
[ (-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]
[ -b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]
[ -1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]
x_1 =
[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]
[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]
[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]
x_1 =
[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]
[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]
m_11 =
-1/2*b21^2*b32/b11^3/exp(b11*t)^2*T*(-4*exp(b11*T)*t*exp(b11*t)+2*exp(b11*T)*t+4*t*exp(b11*t)-exp(b11*t)*T-2*t+2*exp(b11*t)^2*b11*T*t+exp(b11*T)*exp(b11*t)*T+T-exp(b11*T)*T)
x_2 =
[ (-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]
[ -b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]
[ -1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]
x_2 =
[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]
[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]
[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]
x_2 =
[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]
[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]
m_21 =
1/2*(-1+exp(b11*T))*b21*b32/exp(b11*t)^2/b11^3*T*(-4*b11*t*exp(b11*t)+exp(b11*t)*b11*T+2*exp(b11*t)+2*b11*t-b11*T-2)
x_3 =
[ (-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]
[ -b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]
[ -1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]
x_3 =
[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]
[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]
[ b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^3/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))+b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3, (b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t)^2+b32*t*b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)+b21*b32*(b11*t*exp(b11*t)+1-exp(b11*t))/b11^2/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11+2*b32*t*b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2-1/2*b21*b32*(2+T^2*b11^2+2*b11*T-2*exp(b11*T))/b11^3]
x_3 =
[ 1/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))/b11, 1/exp(b11*t)^2*(-1+exp(b11*T))/b11]
[ -b21/b11^2*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)*(-1+exp(b11*T))-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2, (-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t)^2-b21/b11*(-1+exp(b11*t))/exp(b11*t))*(-1+exp(b11*T))/b11-b21*(1+b11*T-exp(b11*T))/b11^2]
m_31 =
-(-1+exp(b11*T))*b21/exp(b11*t)^2/b11^2*T*(-1+exp(b11*t))
Bet_11 =
-1/2/T*(-4*exp(b11*T)*t*exp(b11*t)+2*exp(b11*T)*t+4*t*exp(b11*t)-exp(b11*t)*T-2*t+2*exp(b11*t)^2*b11*T*t+exp(b11*T)*exp(b11*t)*T+T-exp(b11*T)*T)/(-1+exp(b11*T))/t/(1+exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t))
Bet_12 =
1/2/b21/T*(-4*b11*t*exp(b11*t)+exp(b11*t)*b11*T+2*exp(b11*t)+2*b11*t-b11*T-2)/t/(1+exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t))
Bet_13 =
-1/b21*b11/T*(-1+exp(b11*t))/b32/t/(1+exp(b11*t)^2-2*exp(b11*t))
T =
b11 =
-0.277
b21=
-0.080
b21 =
3.4600
b32 =
Bet_11 =
-1.8138
Bet_12 =
-0.5995
Bet_13 =
-0.3007
>>