Визначення робочої формули

3.1. Формула, за якою визначається значення шуканої величини, є розв’язком певної фізичної задачі. Постановку цієї задачі студент повинен розуміти і детально розібратися у розв’язку. Але у звіті наводиться лише остаточний вигляд розв’язку, який прийнято називати робочою формулою.

Робоча формула може містити:

а) фундаментальні фізичні константи (с – швидкість світла у вакуумі, е– заряд електрона, h – стала Планка і т.д.);

б) величини, які є сталими для даного експерименту (m– маса вантажу, r– густина речовини, – електрорушійна сила еталонного джерела струму і т.д.);

в) величини, що підлягають безпосередньому вимірюванню під час досліду (t – час, d – відстань, U – напруга і т.д.).

Приклад.

В роботі досліджувався рух свинцевих кульок у гліцерині. Формула для визначення коефіцієнта динамічної в’язкості рідини має вигляд:

,

де g – прискорення вільного падіння, d – діаметр кульки, r – густина свинцю, rр – густина рідини,L – шлях, що проходить кулька за час t.

3.2. Для величин, що є сталими під час досліду прийняті такі позначення: g=9,81 м/с2, r=11350 кг/м3, rр=860 кг/м3.

3.3. Безпосередньо вимірюваними величинами є d, L, t. Діаметр кульки вимірювався мікрометром з індикатором годинникового типу. Ціна поділки – 0,01 мм. Межі вимірювання 0…10 мм. Шлях L вважався рівним відстані між рисками на посудині і вимірювався стандартною лінійкою з ціною поділки 1мм. Час вимірювався секундоміром з ціною поділки 0,2 с.

Таблиця вимірюваних величин

Результати вимірювань подаються у вигляді таблиці. При цьому слід мати на увазі таке: при первинних вимірах допускається (і навіть корисно) записувати значення вимірюваної величини у тих одиницях, у яких градуйована шкала приладу (мм, мГ, мкА, кількість поділок шкали приладу і т.д.).

Це робиться тому, що у разі помилки при переході до основних одиниць, можна було б її знайти і виправити. Якщо ж таких записів немає, то у разі помилки все треба починати з початку.

Приклади:

а) сила F = 12,1 мГ = 12,1·10-3 Г = 0,118·10-3 Н;

б) вимірюється сила струму. Кількість поділок приладу, що відповідає даній силі струму n = 20. Ціна поділки – С =0,05 А/под. Тоді сила струму

І=n·С=20 под·0,05 А/под=1 А.

У таблиці, що подається у звіті, значення всіх величин наводяться в одиницях системи SI. При цьому може статися так, що в таблицю треба записувати або дуже великі, або дуже малі числа. У таких випадках треба користуватися записом числа в нормованій формі: а = 1,23·10-10 (1,23 – мантиса, 10-10 – порядок). Мантиса числа повинна містити одну цифру до коми.

Приклади:

а) сила F = 1520 Н = 1,52·103 Н;

б) питома теплоємність с = 4190 Дж/(кг·К) = 4,19·103 Дж/(кг·К);

в) момент інерції І = 0,00312 кг·м2 = 3,12·10-3 кг·м2.

У таблиці наводяться значення лише тих величин, що безпосередньо вимірюються на досліді. Символ величини, порядок числа та одиниця вимірювання записуються у верхівці таблиці. Числові значення величин (мантиси) записуються у колонці таблиці. Кількість цифр після коми у кожному стовпчику таблиці повинна бути однаковою. Крім того слід пам’ятати, що остання цифра будь-якого числа вважається не точною. Отже кількість цифр у результаті виміру слід обирати з урахуванням відносної похибки вимірювань.

Приклади:

а) результат окремого виміру х = 15,25. Відносна похибка виміру не менше за 5%. Абсолютна похибка виміру: sх= 15,25·0,05=0,76. Отже результат виміру слід обирати з урахуванням відносної похибки виміру х=15,2;

б) отримані такі середні значення для моменту інерції системи, що відповідають різному розподілу маси системи відносно осі обертання:

J1=0,0024 кг·м2

J2=0,0030 кг·м2

J3=0,0068 кг·м2

J4=0,0075 кг·м2

J5=0,0120 кг·м2

 

 

Можливі два варіанти оформлення цих результатів у вигляді таблиці.

J, 10-3 кг·м2   J·103, кг·м2
2.4   2.4
3.0   3.0
6.8   6.8
7.5   7.5
12.0   12.0

аб

У варіанті б) множник 103 вказує на те, що в колонку записане число у тисячу разів більше за дійсне. Варіант а) більш природний, тому рекомендуємо користуватися саме ним.

5. Розрахунок шуканих величин

Розрахунок шуканих величин проводиться за робочими формулами. При цьому слід додержуватись правил наближених обчислень (див. глава І, розділ 1).

Порядок обчислення абсолютної та відносної похибки для прямих вимірів наведено у главі І, розділ 2.

Покажемо, як обчислюються похибки для величин, які є результатом непрямих вимірів. При непрямих вимірах порядок знаходження похибок досліду такий:

а) користуючись робочою формулою для визначення шуканої величини, а також виразом

, (1.1)

одержують формулу для підрахунку відносної похибки досліду;

б) підставляючи у робочу формулу середні значення вимірюваних величин, знаходимо середнє значення шуканої величини <у>;

в) визначаємо абсолютну похибку шуканої величини:

; (1.2)

г) кінцевий результат подаємо у вигляді:

. (1.3)

 

Як приклад, розглянемо підрахунок похибок у роботі №1.1.

Робоча формула для визначення моменту інерції системи має вигляд:

. (1.4)

У досліді вимірюються величини:– висота, на яку опускається тягарець, – час, за який це відбувається, – радіус вала, на який намотана нитка.

Отже, ми можемо вважати, що шукана величина J є функцією трьох змінних. .

Знаходимо частинну похідну (при цьому всі інші величини, що входять у робочу формулу (1.4), вважають сталими):

.

Знаходимо відношення цієї похідної до самої функції:

.

Помножуємо одержану величину на стандартну похибку величини R та підносимо одержаний результат до квадрату:

.

Це і буде перший доданок суми у формулі (1.1). Величини у дужках – відносна похибка вимірювання радіуса вала.

Аналогічно знаходимо другий доданок суми для часу t:

.

Для визначення третього доданку для висоти h знаходимо похідну:

.

Знаходимо відношення цієї похідної до самої функції:

.

Помножуємо одержану величину на стандартну похибку вимірювання висоти ( ) та підносимо до квадрату:

.

В результаті таких дій одержуємо формулу для визначення відносної похибки досліду:

.

Аналізуючи вираз, що знаходиться під радикалом, можна зробити висновок про внесок кожного вимірювання у загальну похибку досліду.

Декілька зауважень щодо визначення похибок досліду.

1. До визначення похибок слід приступати тоді, коли робота виконана, тобто зроблені всі необхідні виміри, оброблені аналітично та графічно, знайдено середнє значення шуканої величини і немає ніяких підстав вважати одержаний результат невірним.

2. Якщо дослід проводиться декілька разів, то для визначення похибок обирається той дослід, у якому абсолютні похибки для вимірюваних величин – найбільші.

3. При визначенні відносної похибки слід її не занижувати, а завищувати, виходячи з тих міркувань, що коли нас задовольнятиме знайдена таким шляхом похибка, то тим більше нас задовольнятиме реальна похибка, яка буде меншою від неї. Звичайно для лабораторних вимірювань відносна похибка досліду не повинна перевищувати 10%.

Графіки

Побудова графічної залежності між вимірюваними величинами або між вимірюваними і шуканими величинами є важливою частиною звіту. З одного боку, графіки дозволяють наочно побачити залежність між фізичними величинами. З іншого – вигляд графічної залежності у багатьох випадках дозволяє дійти висновку щодо якості проведеного експерименту.

Перед тим, як побудувати графік, слід визначити, яку величину ми будемо відкладати по осі абсцис і яку по осі ординат. Звичайно по осі абсцис відкладають незалежну змінну (час, температура, відстань, напруга і т.п.), а по осі ординат величину, яка є функцією незалежної змінної (опір провідника, сила струму, момент інерції і т.п.).

На другому етапі побудови графіка треба оцінити інтервал, в якому знаходяться значення цих величин.

Є ряд загальних правил, яких потрібно дотримуватися при побудові графіка:

1) масштаби для величин, що відкладаються по різних осях незалежні;

2) кожна вісь може починатися з нуля, або з будь-якого цілого значення;

3) масштаби слід обирати таким чином, щоб крива, що відображає шукану залежність, розташовувалася поблизу бісектриси координатного кута;

4) бажано, щоб результати вимірів на графіку були показані з тією ж точністю, з якою вони вимірювалися на досліді;

5)
графік не повинен мати вигляд ламаної лінії (рис. 4,а) бо це означало б, що при зміні однієї величини інша змінюється стрибкоподібно. Більш імовірно, що залежність має бути подібна до тієї, яка показана на рис. 4,б;

6) масштаб по осях треба обирати так, щоб залежність була чіткою (рис.5,б). При невдалому виборі масштабів наочність втрачається (рис.5,а);

 
 

7) символ величини, множник, що визначає порядок числа та одиниця виміру записуються в кінці координатної осі на вільному від експериментальних точок місці.

У багатьох випадках доводиться зображати залежність, яка має вигляд степеневої або експоненціальної функції: y=a+bx2; y=a·exp[bx]. В першому випадку зручно зображати залежність у=у(х2), бо графік матиме вигляд прямої лінії. В другому випадку зручно зображати залежність lny=f(x). Якщо у таких координатах ми одержимо пряму лінію, то це буде непрямим доказом справедливості експоненціальної залежності “у” від “х”.

Похибку у експериментальному значенні можна показувати на графіку таким чином:

або .

Довжина горизонтальної риски задає інтервал можливих значень для даного виміру незалежної змінної, а вертикальна – відповідний інтервал для функції.

Якщо біля експериментальної точки ми побудуємо прямокутник із сторонами та (рис. 6), то кожна точка площі цього прямокутника буде задавати значення, яке з однаковою ймовірністю належить даній залежності.

На рис. 7 зображені приклади обробки тих самих експериментальних точок, але для різних значень абсолютної похибки вимірювань. На рис.7,а абсолютна похибка досить велика, тому правомірно провести пряму лінію. У випадку, коли абсолютна похибка мала (рис. 7,б), ми повинні провести плавну криву лінію. Основною вимогою до цих ліній є те, що вони мусять перетинати всі прямокутники, побудовані навколо

 
 

експериментальних точок.

Висновки

Під час виконання лабораторної роботи студент повинен навчитися не тільки виконувати вимірювання і обчислення шуканих величин за робочими формулами, але і осмислювати одержані результати.

Висновки не повинні бути простим констатуванням факту: “Я вивчив такі-то питання”, “Я виміряв таку величину” і т.п. Висновки повинні підкреслювати певну фізичну закономірність і ґрунтуватися на тих результатах, які одержані під час виконання роботи. Отже, висновки треба писати тільки тоді, коли в роботі виконується певне дослідження.

Приклад 1. В роботі ставиться задача визначення коефіцієнта в’язкості рідини. Студент одержує певний результат для деякої рідини, наприклад, для гліцерину. Ясно, що після закінчення роботи ніяких висновків зробити неможливо.

Приклад 2. В роботі ставиться задача дослідити залежність коефіцієнта в’язкості рідини від температури. Зробивши низку вимірювань коефіцієнта в’язкості рідини, студент осмислює одержані результати і в короткій формі формулює одержану залежність.

При цьому треба бути дуже обережними. Покажемо це на прикладі.

Деяка фізична залежність описується синусоїдою (рис. 8).

Якщо ми досліджуємо цю залежність в інтервалі (0...а), то можемо зробити висновок, що шукана величина “y” зі збільшенням “х” монотонно зростає. Досліджуючи цю залежність в інтервалі (а...в) – ми повинні відмітити монотонне зменшення шуканої величини “y” зі зростанням величини “х”.

Отже, якщо ми хочемо сформулювати характер деякої фізичної залежності y=f(x), треба максимально конкретизувати величину “y” і обов’язково вказувати інтервал, в якому змінювалася величина “х”.