Квадрат Ло Шу (так называют этот магический квадрат китайцы)
Данный магический квадрат был известен ещё в древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до новой эры. Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг неё в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).
Квадрат, найденный в Кхаджурахо, (Индия).
Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).
В XIII веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего порядка, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила их построения. Он сумел построить магический квадрат 6-го порядка.
Квадрат Альбрехта Дюрера.
Магический квадрат 4х4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве. ( приложение 2). Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины – 1514 год. Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2х2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток, в квадратах, построенных «ходом коня», в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах.
10+11+6+7=34; 16+13+4+1=34; 2+8+9+15=34 и 3+5+12+14=34; 3+2+15+14=34 и 5+8+9+12=34.
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона.
Квадрат Дьюдени Квадрат Джонсона
Если в квадратную таблицу n x n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат – нетрадиционный. Эти два квадрата заполнены в основном простыми числами. Первый имеет порядок 3, второй – 4. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.
Дьявольский магический квадрат
Это такой магический квадрат, в котором кроме строк, столбцов, основных диагоналей совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях. Такие квадраты называют ещё пандиагональными. Существует 3 существенно различных квадрата:
Однако было доказано, что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант – это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.
Глава III
Некоторые способы построения магических квадратов
1) Способ Баше (террас).
При помощи этого способа составляют магические квадраты из нечетного числа клеток: 3х3, 5х5, 7х7 и т. п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Опишем способ построения 9-ти клеточного квадрата. ( рис.1 ) Начертив квадрат из 9-ти клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по 3 в ряд. Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они
примкнули к противолежащим сторонам квадрата, оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше. В результате получаем квадрат:
Применим правило Баше к составлению квадрата из 5х5. Начинаем с расположения (рис.2). Остается только числа, оказавшиеся за рамками квадрата, ввести внутрь его. Для этого нужно фигуры, образованные числами, стоящими вне квадрата (террасы), мысленно вдвинуть в квадрат так, чтобы эти фигуры примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Получится магический квадрат:
Индийский способ.
Этот способ придуман, как полагают, в Индии еще до начала нашего летоисчисления. Его суть заключается в 6-ти правилах. Приведём пример построения 49-ти клеточного квадрата.
1. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца – 2.
2. Следующие числа пишут по порядку в диагональном направлении вправо вверх.
3. Дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки.
4. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца. Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней.
5. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой.
6. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.
Из полученного квадрата путём поворотов и отражений можно составить еще несколько магических квадратов. ( приложение 5)