Психологические принципы формирования понятий
В психологии накоплен значительный опыт разработки программ учебных дисциплин на основе закономерностей организации учебной деятельности ученика. Ведущее место здесь занимают принципы теории развивающего обучения Д.Б. Эльконина (1989) и В.В. Давыдова (1996), а также метод планомерного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина (1998). Кратко основные принципы подхода П.Я. Гальперина к построению обучения можно выразить в следующих положениях:
1) Главную и собственно психологическую сторону деятельности субъекта составляет ее ориентировочная сторона, поэтому от полноты и характера ориентировки субъекта в предмете усвоения решающим образом зависит и осмысленность хода обучения, и успешность его результатов.
2) Усвоение понятий – это всегда активная деятельность ученика, поэтому в основе обучения должно лежать выделение того предметного действия (или системы предметных действий), которое и является прообразом (исходной формой) формируемого понятия.
3) Процесс усвоения учениками понятий необходимо организовать в соответствии с его закономерными и последовательными этапами («шкала поэтапного формирования»).
Другое важное направление исследований развивающего обучения связано с теорией учебной деятельности Д.Б. Эльконина (1989) и В.В. Давыдова (1996). В результате анализа содержания развивающего обучения ими было показано, что успех овладения детьми научно-теоретическими понятиями (к ним относятся и отвлеченные понятия современной математики) зависит также от способов организации содержания изучаемого материала и приемов учебной деятельности.
Такая организация предполагает следующие шаги:
1) ориентацию школьников в условиях задачи, решение которой требует введения нового понятия;
2) преобразование условий и выявление генетически исходного отношения в области, которую охватывает данное понятие;
3) фиксацию выявленного отношения в предметной или знаковой модели, позволяющей изучать его свойства в чистом виде.
В результате понятие не дается в готовом виде – оно формируется при помощи таких действий детей с предметом, которые направлены на раскрытие условий происхождения нового понятия. Экспериментальные исследования в русле теории В.В. Давыдова (1996) показали возможность реализации приведенных выше принципов на примере разных дисциплин, в том числе при построении систематического курса математики в начальных классах.
Изучение комбинаторики в современной школе (анализ учебников для учащихся средней школы) показывает, что комбинаторные понятия, как правило, преподносятся на примере конкретных задач, сопровождаемых объяснением способа их решения и рассуждения. В старших классах комбинаторные соединения вводятся в формализованном виде, т.е. начиная с правила и формулы, за которыми следуют упражнения в решении и разбор задач (Виленкин и др., 1999). В лучшем случае – обычно в наиболее современных учебниках для 5-6-х классов – ознакомление с комбинаторными соединениями начинается с показа подсчета числа возможных вариантов комбинаций на основе систематического перебора возможных вариантов, даются примеры таблиц или/и графов (Математика…, 1997, 2001, 2003). Схема изучения элементов комбинаторики в старших классах с углубленным изучением математики (Виленкин, 1999 и др.) практически не изменилась с 70-х годов и имеет следующий вид: пример, введение определения выборки, вывод формулы для подсчета числа выборок и решение задач на данный вид выборок по готовым формулам.
При этом молчаливо предполагается, что сами способы построения комбинаций элементов с определенными свойствами в изучаемых соединениях, а также их соотношение с исходным множеством детям понятны сами собой и не требуют специального внимания. Предполагается, что ученики могут легко представить себе в уме все многообразие комбинаций, о которых идет речь в задачах и в своих рассуждениях уверенно опираться на эти представления.
Однако на практике обучение с опорой на демонстрацию и разъяснение учителем наглядных, практических примеров с последующим упражнением детей в решении задач обычно достаточно для наиболее сильных учеников, но не для всех. Как признают сами преподаватели математики, лишь небольшая часть учеников средних общеобразовательных школ овладевает умением проводить комбинаторные рассуждения. Большинство же учащихся не могут построить рассуждения при решении комбинаторных задач таким образом, чтобы найти все возможные варианты, соответствующие условию, и в то же время не допустить повторов. Показательно, что в большинстве случаев дети действуют хаотично, тогда как число учащихся, осуществляющих перебор вариантов по определенной системе, обычно не превышает 5% - 15%. При этом успешность прямо зависит от сложности задачи (количества элементов исходного множества и численности наборов). Несмотря на то, что с возрастом успешность выполнения комбинаторных задач несколько повышается, в целом она остается на достаточно низком уровне, что было продемонстрировано даже на примере студентов-математиков педвуза.
В ответ на трудности усвоения комбинаторных понятий в формализованном виде (т.е. начиная с правил и формул), педагоги оказываются вынужденными «переходить от абстрактного к конкретному», предлагая, например, систематическое изложение комбинаторики на графовой основе (Волгина, 1977), создание этапа «бесформульной комбинаторики» на основе использования действия систематического перебора и графов (Шихова, 1978), «заблаговременную» подготовку мышления учащихся через введение элементарных комбинаторными заданий уже в начальных классах (Виноградова, 2003; Мельников, 2003; Шихова, 1973 и др.). Подчеркивается также полезность использования задач, составленных на близком детям жизненном материале, позволяющем организовать «исследовательскую деятельность, в процессе которой учащиеся экспериментируют, наблюдают, сопоставляют полученные факты, делают выводы» (Белокурова, 1993. С.12).
В целом все перечисленные выше методические приемы по-своему эффективны и, бесспорно, помогают ученикам в какой-то мере «почувствовать» ту реальность, которая стоит за комбинаторными понятиями «сочетания», «перестановки» или «размещения». Однако с психологической точки зрения, все эти приемы роднит то, что они не обеспечивают достаточного практического опыта и ориентировки ученика в изучаемой области, да и правилом остается вербальный способ преподнесения знаний, лишь отчасти подкрепленный графическими моделями (таблицы и графы).
«Неполнота ориентировки» учащихся означает, что, решая задачи, дети сами (или по подсказке учителя) должны научиться выделять (в описании предметной ситуации задачи) и соотносить «исходное множество» и «получаемый набор» (т.е. соединение, подмножество), а также одновременно учитывать такие свойства комбинаций, как количественный и качественный состав, порядок и повторяемость элементов. Ученик сам, путем проб и ошибок ищет (и, естественно, не всегда находит!) недостающие ориентиры для правильного выполнения заданий. Но, как известно, успех обучения на основе неполной ориентировки в предмете не столько развивает мышление детей, сколько сам зависит от достигнутого ими уровня интеллектуального развития, т.е. способностей учащихся. Поэтому традиционный способ оправдывает себя в отношении интеллектуально сильных учащихся, но оставляет за бортом менее способных.
Между тем необходимость организации ориентировки в предметной области тем выше, чем сложнее понятия и чем слабее «житейская база» этих понятий. Интуитивно это положение разделяется многими, о чем говорят призывы к усилению прикладной и практической направленности обучения и ознакомлению учащихся с соответствующими проблемами реальной действительности. В этой связи симптоматичным представляется появление новых методических разработок, прямо направленных на учет содержания субъектного опыта учащихся (т.е. представлений, накопленных в процессе индивидуального жизненного опыта) при изучении основ теории вероятностей, комбинаторики и статистики в школьном курсе математики (Троицкая, 2007).
Обычная жизненная практика современного ребенка мало сталкивает его с задачами, требующими составления не просто той или иной комбинации элементов, а всего многообразия возможных комбинаций, разных типов комбинаций, учета при этом свойств их элементов и т.д. По образному выражению Ж. Пиаже (2001а), комбинаторика – это классификация классификаций. Но, если классификационные задачи очень рано и в большом разнообразии входят в жизнь ребенка, то задачи комбинаторные (за исключением простейших – с двумя-тремя элементами) встречаются эпизодически и, как следствие, не становятся предметом размышления детей, почти не оставляя следа в их памяти (опыте).
Таким образом, отвечая на вопрос, чего, на взгляд психологов, недостает методикам обучения комбинаторики в школе, нужно признать, что они не обеспечивают достаточно полной ориентировки ученика в изучаемой области и не восполняют недостаточного предметно-практического опыта оперирования множествами, из-за которого дети оказываются не подготовленными к изучению комбинаторных понятий.