Однопродуктовая модель оптимальной партии поставки без дефицита.
Простейшая модель оптимальной партии поставки строится при следующих предположениях: спрос n в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты К на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s.
На рис. 1 показана динамика изменения уровня I запасов.
Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величиной q. Заказ выполняется мгновенно и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной t между поставками называют циклом. Издержки в течение цикла Lц состоят из стоимости заказа К и затрат на cодержание запаса, которые пропорциональны средней величине запаса I=q/2 и длине цикла t =q/n ,
Разделив это выражение на длину цикла, получим издержки в единицу времени
Оптимальный размер партии определяется из уравнения
Отсюда находится оптимальный размер q* партии:
. (2)
Так как d²L/d²q>0, то для всех q > 0 выражение (2) является минимумом функции затрат (1). Уравнение (2) известно под многими названиями. Его называют формулой наиболее экономной величины заказа, формулой Уилсона, формулой квадратного корня. Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, подставляем значение q* в соответствующие выражения. Получаем, что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые
единиц времени. Наименьшие суммарные затраты работы системы в единицу времени
11 Определение и свойства коэффицентов прямых и полных затрат
Переходя к анализу модели межотраслевого баланса, необходимо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной: А > 0. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: ац < 1.
Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков; таким образом, вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов и на- зывается неотрицательным: X > 0. Встает вопрос, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X > 0, что
X >АХ. (6.11)
Очевидно, что условие (6.11) означает существование положительного вектора конечной продукции У > 0 для модели межотраслевого баланса (X=AX + Y). Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий: 1)
матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А)_1>0;
00 2)
матричный ряд Е + А + А2 + А3 + ...= ^ Ak сходится,
ft=o
причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)-1; 3)
наибольшее по модулю собственное значение X матрицы А, то есть решение характеристического уравнения
|ХЕ ~А\ = 0,
строго меньше единицы; 4)
все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до п, положительны. Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы. Наибольший по модулю корень характеристического уравнения, приведенного в условии 3) продуктивности матрицы А (обозначим его через А.*), может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а следовательно, величина 1-Я.* характеризует остаток после затрат, т.е. продуктивность. Чем больше 1-Я.*, тем больше возможности достижения других целей, кроме текущего производственного потребления. Другими словами, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше наибольшее по модулю собственное значение Я.* и ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем меньше наибольшее по модулю собственное значение и выше продуктивность.
Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных материальных затрат, т.е. матрицы В = (Е - А)-1. Согласно определению 2 из предыдущего параграфа коэффициент этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести продукции і-й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j-й отрасли. Дадим другое определение коэффициента полных материальных затрат исходя из того, что кроме прямых затрат существуют косвенные затраты той или иной продукции при производстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой «руда-чугун-сталь-прокат». Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т. д. В связи'со сказанным выше имеет место следующее определение. Определение 3. Коэффициентом полных материальных затрат ctj называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции і-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если коэффи- циент косвенных материальных затрат ft-ro порядка обозначить через ajp, то имеет место формула
cl} = al} + + af +...+aJw +..., (6.12)
а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов полных материальных затрат С = (су) и матрицы коэффициентов косвенных материальных затрат различных порядков
А^ = (а^), то поэлементную формулу (6.12) можно записать в более общем матричном виде:
С = А + А(1) + A(2)+...+A(ft)+... (6.13)
Исходя из содержательного смысла коэффициентов косвенных материальных затрат можно записать ряд матричных соотношений:
А(1) = АА + А2; А<2> = АА™ = АА2 = А3;
А<*> = AA<*-» = АА* = Ак+К
с использованием которых матричная формула (6.13) может быть переписана в следующем виде:
С = А + А2 + А3+...+А*+1+...= (6.14)
Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А является продуктивной, то из условия 2) продуктивности существует матрица В = (Е - А)-1, являющаяся суммой сходящегося матричного ряда:
В - (Е - А)-1 = Е + А + А2 +А3+...= ?Аа. (6.15)
Л=0
Из сопоставления соотношений (6.14) и (6.15) устанавливается следующая связь между двумя матрицами коэффициентов полных материальных затрат:
В = Е + С,
или, в поэлементной записи:
если і * j, 1 + cfy, если I = j.
Данная связь определяет экономический смысл различия между коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэффициентов матрицы С, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.
Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения задач на основе модели межотраслевого баланса.
Основной объем расчетов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам обращения матриц, рассматриваемым в курсе матричной алгебры (некоторые из этих формул рассмотрены в гл. 2), либо приближенным способом, используя разложение в матричный ряд (6.15).
Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В. Находят матрицу (Е - А), а затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют матрицу (Е - А)"*1. Одним из наиболее употребительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении формулы матричной алгебры
В = (Е-А)~1 = \Е А).
\е-А\
где в числителе матрица, присоединенная к матрице (Е - А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е - А)', а в знаменателе — определитель матрицы (Е - А). Алгебраические дополнения в свою очередь для элемента с индексами і и j получаются умножением множителя (~1)'+/ на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы і-й строки и /-го столбца. При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется формула (6.15). Обязательным условием корректности этих расчетов является условие продуктивности матрицы А, и при расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков. В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).
12 Определение оптимальной величины партии в условиях скидки на размер заказа
Одной из форм стимулирования посредников являются скидки, которые должны стимулировать покупателей делать закупки в большом количестве. Часто используется количественный дисконт — снижение цены единицы продукции, когда товар покупается в большом количестве. Заметим, что ожидаемая от покупки со скидкой выгода может быть обманчивой. Расходы, связанные с покупкой товара, действительно снижаются, если увеличивается скидка. Вместе с тем, и затраты на хранение продукции увеличиваются, что связано с увеличением количества продукции, которая хранится. Наибольшую выгоду посредник получает, когда достигается баланс между снижением стоимости товара и увеличением затрат на хранение. Покупателю, в случае получения предложения о закупке товара со скидкой за количество, следует определить размер заказа, который обеспечивает наименьшую величину полных затрат. Критерием принятия решения об объеме заказа будут общие годовые расходы. Объем заказа, при котором общие годовые расходы будут минимальными, будем считать оптимальным.
где С — общие годовые расходы;
8 — спрос (в натуральном выражении);
С0 — затраты на каждый заказ,
q — количество единиц в заказе;
С1 — затраты на хранение единицы продукции в год;
Си—цена товара;
и — расходы на хранение, определены как процент от цены товара.
Оптимальный размер партии поставки при наличии скидок определяется в такой последовательности:1. Определение оптимального размера партии поставки для каждого варианта скидок.2. Увеличение размера партии поставки до ближайшей минимальной величины, которую можно продисконтувати (для которого предоставляется скидка).3. Определение общих затрат для каждого варианта размера партии поставки.4. Выбор оптимального размера партии поставки, при котором общие затраты являются минимальными.
13. Определение оптимальной стратегии в условиях неопределенности по критериям Байеса и Вальда.
В математике модель конфликтной ситуации (когда интересы участников противоположны) называют игрой. Стороны – игроки, а их возможные действия – стратегии. «Природой» называют игрока, которые действует не сознательно, сознательно действующего игрока – принимающим решение. Принятие решений в условиях неопределенности происходит в ситуации, когда вероятности состояний природы неизвестны. Когда вероятности состояний природы известны (рассчитаны на основе стат. данных или определены экспертным путем) решение принимается в условиях риска.
Для принятия решений в условиях неопределенности используется несколько различных критериев, один из них - критерий Вальда. Он основан на принципе крайнего пессимизма. Для принятия решения находится наименьший выигрыш для каждой стратегии. Затем из наименьших выигрышей принимающий решение выбирает наибольший. Данную стратегию часто называют максиминной (максимум из минимумов).
Критерий Байеса используется при принятии решений в условиях риска.
Пусть принимающий решение имеет m стратегий, а природа – n, причем состояние природы Пj реализуется с вероятностью pj (j = 
). Наилучшей по Байесу будет стратегия Ai, соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу 
14. Определение оптимальной стратегии в условиях неопределенности по критериям Байеса и Гурвица.
В математике модель конфликтной ситуации (когда интересы участников противоположны) называют игрой. Стороны – игроки, а их возможные действия – стратегии. «Природой» называют игрока, которые действует не сознательно, сознательно действующего игрока – принимающим решение. Принятие решений в условиях неопределенности происходит в ситуации, когда вероятности состояний природы неизвестны. Когда вероятности состояний природы известны (рассчитаны на основе стат. данных или определены экспертным путем) решение принимается в условиях риска.
Для принятия решений в условиях неопределенности используется несколько различных критериев, один из них - критерий Гурвица. Он основан на принципе пессимизма-оптимизма. Для принятия решения используется значение γ, которое принимающий решение задает на основание своего опыта. При этом на практике выбирают 0˂γ˂1, где, если γ=0 получаем критерий крайнего оптимизма, а если γ=1, то критерий крайнего пессимизма.
, 
Критерий Байеса используется при принятии решений в условиях риска.
Пусть принимающий решение имеет m стратегий, а природа – n, причем состояние природы Пj реализуется с вероятностью pj (j = ). Наилучшей по Байесу будет стратегия Ai, соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу
15 Определение оптимальной стратегии в условиях неопределенности по критериям Вальда и Сэвиджа.
Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, т.к. здесь игрок А исходит из предположения, что природа П «действует» против него наихудшим образом, т.е. реализует такие состояния Пj, при которых величина его выигрыша принимает наименьшие значения. Показатели эффективности чистой стратегии рассчитываются по формуле:
Оптимальной по критерию Вальда считается та чистая стратегия, показатель эффективности которой будет максимальным, то есть обеспечивается максимин:
Критерий Вальда так же еще называют максиминным критерием. Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с наихудшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, следующая:
- О возможностях внешних проявлений состояний природы Пj ничего не известно;
-Приходится считаться с появлением различных внешних состояний Пj;
-Решение реализуется только один раз;
-Необходимо исключить какой бы то ни было риск.
Данным критерием руководствуются ЛПР не склонные к риску или рассматривающие ситуацию как пессимисты.
В ряде экономических задач в качестве критерия эффективности выступает показатель минимума затрат: капитальные вложения, валовые издержки производства, приведенные годовые затраты…
Критерий Сэвиджа – критерий потерь от «минимакса»
Критерий Сэвиджа как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма, ибо и здесь игрок А исходит из предположения, что природа реализует самые неблагоприятные для него состояния. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию, при которой минимизируется величина максимального риска. Таким образом, показатель эффективности определяется как величина максимального риска:
А цена игры равна:
При использовании критерия Сэвиджа ситуация, в которой принимается решение, должна удовлетворять тем же условиям, что и при применении критерия Вальда.
16 Определение оптимальной стратегии в условиях неопределенности по критериям Сэвиджа и Гурвица.
Оценка альтернатив производится не по исходной матрице, а по так называемой "матрице сожалений" или, как ее еще называют в некоторых источниках, "матрице рисков".
Для произвольной альтернативы и конкретного состояния природы величина "сожаления" равна разнице между тем, что обеспечивает данная альтернатива, и тем, сколько максимально можно выиграть при данном состоянии. С экономической точки зрения величину "сожаления" можно трактовать как недополученный выигрыш (или упущенную выгоду) по сравнению с максимально возможным при данном состоянии природы.