Сенсорная и акустико-мнестическая 2 страница

 

повторяемость (упражняемость) программы больным в процессе обучения, опора на внешние вспомогательные средства. Все это создает условия для высокой степени активности и самостоятельности больного в преодоле­нии дефектов.

Сначала правильно составленная программа будет яв­ляться средством управления восстановлением функции, а после овладения ею она выступит для больного как средст­во самоуправления, как способ выполнения тех или других действий. Программа операций, в отличие от применения отдельных методов, приемов, упражнений, мало связан­ных друг с другом, создает схему, структуру протекания процесса письма, чтения или счета и направлена на восста­новление целостного действия, а не отдельных его сторон и вводит его в систему с другими ВПФ. В этом психологиче­ская сущность метода программированного обучения.

В этой книге сделана попытка не только показать важность научного, а не эмпирического подхода к вос­становлению письма, чтения, счета и других ВПФ, но и указать на целесообразность нейропсихологического иссле­дования дефекта, проведения качественного его анализа, который и лежит в основе подбора и разработки адекват­ных механизму дефекта методов его преодоления. Нейропсихологические методы исследования дефектов по­строены таким образом, что позволяют провести синд-ромный анализ дефекта ВПФ и выделить фактор (меха­низм), лежащий в его основе, т.е. не просто указать на наличие дефекта, но и показать, нарушение какого пси­хического процесса (фактора) лежит в его основе. Каче­ственный анализ дефекта отвечает на вопрос, почему нарушен тот или иной психический процесс, что в свою очередь позволяет найти соответствующие методы прео­доления дефекта. Нейропсихологический метод анализа позволяет увидеть и понять, как нарушаются счет, пись­мо и чтение при поражении различных зон мозга, зави­симость выпадения разных структурных звеньев от по­ражения различных зон мозга и связь структуры дефекта с его механизмом и с локализацией поражения мозга у взрослых пациентов или у детей с недоразвитием или с незрелостью определенных мозговых структур. Знание

 

этого вопроса, умение выявить связи патологии (или несформированности) письма, чтения и счета с определен­ной зоной мозга, выявить структурные нарушения и их механизмы дает в руки специалиста тонкий инструмент для выбора адекватного методического пути восстанов­ления (или формирования) нарушенных психических процессов.

Главным инструментом для решения задач диагностики и реабилитации больных с дефектами ВПФ, в том числе счета, письма и чтения, и является, как мы уже писали выше, ка­чественный, а не количественный анализ дефекта. Указание на снижение той или иной функции, даже если пойти да­льше и указать — грубое или легкое это снижение, и даже если подсчитать степень грубости или легкости наруше­ния счета, письма и чтения и выразить ее в числах, как это делается при количественном анализе, — все эти усилия ничего не дают в руки специалиста о знании структурных нарушений ВПФ, их механизмов и связи с мозговыми зонами.

Недостаточное распространение нейропсихологических знаний нередко заставляет практических работников прибегать к другим методам исследования и восстановле­ния (или формирования) психических функций, в том числе письма, чтения, счета, которые нередко страдают эмпиричностью или заимствованием из других областей практики, что не может привести к успеху, т.к. в другом виде практики эти заимствованные методы решают другие задачи.

В заключение следует отметить, что эта книга пред­назначена различным специалистам, имеющим дело либо с восстановлением нарушенных ВПФ у взрослых и детей, либо с их формированием у детей с разного рода проблемами в развитии психической деятельности, как у нормально развивающихся и обучающихся в общеобра­зовательной школе детей, так и у детей с аномальным раз­витием.

Эта работа особенно полезна для нейропсихологов и врачей, дефектологов и логопедов, занимающихся пато­логией высших психических функций и практической реабилитацией детей и взрослых с поражениями или дисфункцией мозга, психологам и учителям, занимаю­щимся вопросами начального обучения детей грамоте

 

 

как в общеобразовательной, так и в специальной шко­лах.

Автор надеется, что эта книга позволит специалистам более глубоко проникнуть в суть психологии процессов счета, письма и чтения, в закономерности их нарушения и восстановления. Решению этой задачи должен помочь проведенный в книге психологический анализ строения письма, чтения и счета, его структуры и психологического содержания, генезиса этих сложных форм психики чело­века. Автором проведен также сравнительный анализ пи­сьменной и устной речи со стороны их генезиса и структу­ры, сформулированы психологические условия, необхо­димые для формирования у ребенка навыков письма, чте­ния и счета. В книге показана особая роль нейропсихологического анализа их нарушения для более глубокого по­нимания генезиса, развития, структуры этих процессов, их нарушения и восстановления.

 

 

Десять пальцев, на которых люди учились считать, т.е. производить первую арифме­тическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свобод­ного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежа­щие счету, но обладать уже и способнос­тью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств, кро­ме числа, а эта способность есть резуль­тат долгого, опирающегося на опыт исто­рического развития.

Ф. Энгельс. Антидюринг

Часть I

СЧЕТ: НАРУШЕНИЕ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ

Глава 1. ПСИХОЛОГИЯ ЧИСЛА И СЧЕТНЫХ ОПЕРАЦИЙ

К истории развития счета

Анализу психологического содержания числа, счетных операций, их структуры, а также и нарушению счета мы предпошлем краткий анализ истории развития понятия числа и счета с целью более глубокого понимания всей сложности этого вида интеллектуальной деятельности (ИД). Счет имеет сложную историю возникновения и раз­вития. Так, Ф. Энгельс считал, что понятие числа заимст­вовано исключительно из внешнего мира, оно не возникло из чистого мышления.

Число и счет являются продуктом человеческой куль­туры, своим появлением они в большой мере обязаны раз­витию торговли, земледельческим работам. История раз­вития счета началась с умения устанавливать соответствие между количеством предметов (или частей предмета), нуждающихся в пересчете, и количеством пальцев на руке.

Десять пальцев на руках явились самым первым и есте­ственным орудием и средством счета. Позже в качестве ору-

 

 

дня счета стали использоваться зарубки на дереве, камешки и т.д. Поэтому в латинском языке счет обозначался словом «calculus», что значит «счет камешками». Это слово дошло до наших дней, оно используется и в современном русском языке, например, калькулятор. В этот период развития сче­та речь, слово еще не выступали в своей специфической роли. Слово служило обозначением соотношения между группами предметов: объектов счета и орудий счета («рав­но», «меньше», «больше»). Позже уже появляются различи­тельные слова — «этот», «тот», «другой», которые можно на­звать зародышами «счетных» слов, слов-числительных: «первый», «второй» и др. Уже в этих первых словах выраже­на двойственная природа и функция числа: они выражали идею количества и идею порядка. В самом деле, слова «этот» и «тот», с одной стороны, обозначают количество — два, а с другой — порядок, т.е. сначала «этот», потом — «тот». С те­чением времени были найдены специальные названия (словесные) для каждого числа натурального ряда, т.е. в этот период развития счета в его структуру уже включилась речь, которая и стала организатором этого процесса.

Современная система счисления прошла огромный путь развития, прежде чем в ней установились соответст­вие и взаимообусловленность между количеством и поряд­ком, между реальным количеством и знаком, обозначаю­щим его, между записью числа в присущих ему обозначе­ниях и его обозначением в речи. История развития числа и счета знает много систем счислений, изобретенных раз­личными народами. Эти системы различались структурой построения числа, правилами его записи, ролью слова в образовании понятия о числе. Однако все системы счисле­ния развивались в одном направлении — создание эконом­ной и обобщенной записи числа, возможность «чтения» числа без сопровождающего его контекста, формирование поня­тия о числе.

Совершенствование систем счисления шло в основном в направлении развития понятия о числе и правил опера­ций с ним. Отмирали многие системы счисления, остава­лись те из них, в которых был возможен синтез двух глав­ных качеств числа — порядка и количества. Так, иониче­ская система, применившая позиционный принцип запи­си и чтения числа, была в свое время наиболее совершен­ной системой, в ней впервые наметилось сочетание раз­рядного и позиционного принципа построения числа.

 

 

Позиционный принцип, отражающий зависимость значения числа от места, занимаемого им в ряду чисел, и разрядный, отражающий зависимость значения величины числа от его места не только в ряду, но и внутри ряда, появ­ляются одновременно с формированием логического мышления (Аржаников, 1917; Галанин, 1910; Гальперин, 1960; Георгиев, I960; Давыдов, 1959; Менчинская, 1956; Не­помнящая, I960 и др.).

Изучение истории развития понятия числа и операций с числами позволило выявить, как происходил процесс «опредмечивания» числа, как развивалось понятие числа, какую роль играет овладение исторически выработанным средством отражения числа (овладение системой нумера­ции) в формировании понятия числа.

Проблема формирования понятия числа связана с присвоением продукта человеческой культуры, который представляет собой современная система счисления, а со­стояние понятия числа у субъекта связано с овладением этой системой.

Число — эта объективная характеристика всех предме­тов окружающего мира — отделяется от этих предметов благодаря системе счисления и тем самым само становится моделью числа и его опредмечиванием. Поэтому система счисления становится как бы инструментом овладения и понятием числа. Понятие числа развивалось только благо­даря и совместно с развитием системы счисления и конк­ретных действий с числами. Отражению числовых харак­теристик окружающего предметного мира способствует не словесное, не письменное обозначение чисел, а именно разрядное строение системы счисления.

В нашей современной системе счисления и нумерации используются все достижения предыдущих систем для обозначения числа. Десятично-разрядный принцип коор­динируется наиболее рациональным образом с позицион­ным принципом благодаря использованию только девяти цифр, которые представляют собой эволюционирование первых девяти египетских (иероглифических) знаков, и использованию нуля для обозначения пустых разрядов, что облегчает не только чтение чисел, но и арифметиче­ские операции с ними. Наименования чисел образовыва­лись по аддитивному принципу, как у греков, и по прин­ципу вычитания, характерному для латинского языка. На­звание чисел второго десятка во многих европейских язы­ках, в том числе и в русском, производится от названия

 

 

первого десятка и от греческого слова дека — десять, т.е. от названия цифр и названия соответствующего десятичного разряда, нуль при этом не обозначается: девят — на — дцать (9+10); девять — сот (9х 100) и т.д. Таким образом, современное понятие о числе неизбежно должно включать в себя прежде всего представления о разрядном строении числа, об отвлеченном и обобщенном его характере.

Однако понятие числа у взрослого человека настолько прочно, а действия с ним сокращены по составу операций и автоматизированы, что трудно усмотреть связь числа с реальной действительностью и его сложную психологиче­скую структуру. Широкие возможности исследования структуры этой сложной формы человеческого знания дают изучение формирования числа и счета у детей, а также исследование патологии функции счета, т.е. генетический и нейропсихологический методы исследования.

1.2. Понятие числа и его формированиеу детей

Известно, что формирование понятия числа у детей идет сложным путем — сначала элементарные представле­ния о «множественности», обозначаемой числом, позже — о количестве конкретных предметов, стоящих за числом, далее постепенно выделяется существенный признак чис­ла и происходит отвлечение этого признака и обобщение. Русский ученый Д.Д. Галанин говорил, что определение числа как совокупности единиц — односторонне и непра­вильно. «Я думаю, что понятие числа скорее содержится в отношении, для которого совокупность счетных единиц есть частный случай»1. Наиболее отчетливо эта характери­стика числа проявляется в сложных операциях с отвлечен­ным числом. Так, по мнению Д.Д. Галанина, в понятии «больше (меньше) в несколько раз» содержится понятие отношения, которое никак не отражает представлений числа как совокупности счетных единиц. Эту сложную природу счета нужно учитывать при формировании поня­тий числа и счета у детей. Как писал Д.Д. Галанин, для того, чтобы сформировать у ребенка представление о чис­ле, недостаточно научить его перечислять предметы, так как при этом в лучшем случае у ребенка возникает пред­ставление единичности предметов и их совокупности, но не возникает представления количественности, поскольку

 

1 Галанин Д.Д. Методика арифметики. — М., 1910. — С. 50.

 

число как определенное количество не содержится в пере­числяемых предметах. Формирование этого понятия воз­можно лишь одновременно с формированием логического мышления.

Исследователи, расходясь по многим вопросам, каса­ющимся проблемы числа и счета, сходились в одном — формирование числа в генезе основывается на множест­венных и разнообразных связях, в которые вступает число, а усмотрение и оценка этих связей становится возможной лишь с привлечением высоких форм анализа, требующих обобщенного и отвлеченного восприятия числа, умения оперировать с самим числом, а не с его количественной сущностью.

Так, Ж. Пиаже, исследуя, развитие каких способно­стей детей связано с числом, установил, что эти способно­сти касаются существенных и основополагающих свойств числовой системы, исходных предположений о природе и поведении чисел, которые средний взрослый в ходе по­вседневных арифметических операций использует молча потому, что они настолько глубоко в нем укоренились, что кажутся очевидными. Число, говорит Ж. Пиаже, позволя­ет группировать предметы в класс, устанавливая одновре­менно с этим определенные асимметрические отношения между ними (порядок — ординация). Поэтому овладение понятием числа предполагает понимание ординации, кардинации (количество) и их взаимоотношения. Число орга­низует внимание и восприятие и позволяет таким образом установить сохранение количества. Но умение пользова­ться соответствующей числовой характеристикой еще не гарантирует понимания количественной стороны числа. Для этого нужно овладеть не просто пересчетом элементов множества, но и упорядочением этих элементов на основа­нии того места, которое каждый из них занимает в ряду по отношению к остальным.

Ж. Пиаже нашел, что у ребенка ординация не находит­ся в нужной координации с кардинацией, поэтому он еще не владеет понятием числа.

Интересно сравнение, которое проводит Ж. Пиаже между логической операцией группировки и числовой операцией группировки. Последняя обладает более точ­ной композицией, т.е. здесь отношение частей к целому и отношение частей между собой определены благодаря тому, что любой из элементов может быть взят в качестве единицы и через него можно определить все остальные.

 

Таким свойством логические классы не обладают. Овладе­ние числом способствует развитию логического категори­ального мышления.

Н.А. Менчинская в своем исследовании формирова­ния числа как результата образования сложной системы связей между воспринимаемыми множествами и обозна­чающим числовым рядом выявила, что в структуру поня­тия числа сначала входят множественные связи числа, предполагающие многообразные замещения одного числа другими. В дальнейшем эти связи чисел, сформированные в действии с предметами, располагающимися к тому же в наглядном пространственном поле, используются субъек­том как автоматически актуализирующиеся числовые таб­лицы.

Иное содержание в понятие числа вкладывают П.Я. Га­льперин и его ученики. В своих исследованиях они исхо­дят из понимания числа как отражения количественных отношений между множеством и принятой мерой, величи­на которой непостоянна, а зависит от масштабов вещей, с которыми производятся измерительные действия. Благо­даря мере число получает свое количественное значение. Число здесь не просто условный знак, оно является пред­метом действия. В соответствии с таким пониманием чис­ла Гальперин и его ученики предлагают другой путь фор­мирования числа и счета у детей, который был подвергнут тщательному теоретическому и экспериментальному ана­лизу в работах В.В. Давыдова, Н.И. Непомнящей, Л.С. Георгиева и др.

П.Я. Гальперин и его ученики показали, что формиро­вание всех умственных действий проходит ряд сложных этапов — от наглядно-действенной их формы до отвлечен­ной, протекающей «в уме» путем перехода от развернутой по составу операций формы до свернутой, от произволь­ной по протеканию до автоматизированной и т.д. Это в полной мере относится и к функции счета. Сначала число и счетная операция представляют собой наглядно-дейст­венную форму, позже — речевую, а на высшем этапе фор­мирования эта функция осуществляется в идеальном пла­не. Формирование и развитие функции счета тесно связа­но с речью, которая выступает, с одной стороны, как сред­ство выражения этой сложной системы знания, а с другой — как организатор деятельности счета. В этих исследова­ниях также отмечается роль пространственного фактора

 

при формировании понятия числа и функции счета у де­тей.

Этому фактору, то есть восприятию оптико-простран­ственных отношений между объектами, подлежащими ко­личественному измерению, разными авторами отводится неодинаковая роль в формировании понятия числа и опе­раций с ним. Одни авторы полагают, что пространствен­ный фактор — это лишь как внешнее условие, «простран­ственное поле» для действий с объектами, другие же счита­ют, что он является не только условием, но и составной ча­стью строения числа, его сущности и связан с самим чис­лом, образуя сложную систему взаимодействия количест­ва и порядка.

Наши исследования показали важнейшую роль этого фактора в формировании понятия числа и функции счета у детей. Восприятие и осознание пространственных отно­шений, в которых находятся измеряемые предметы и мера, в наиболее отчетливом виде выступают на первом этапе формирования понятия числа (движение меры по измеря­емому объекту, отделение одной части от другой и т.д.), но оно остается и на более поздних этапах формирования числа и счета.

Различные авторы по-разному рассматривают и психо­логическое содержание понятия числа. Так, у одних иссле­дователей число — это множество связей, которое предпо­лагает замещение одного числа другими (Менчинская, 1957), другие представляют число как отношение между множеством и принятой мерой (Гальперин, 1966); у третьих число — это знак, занимающий особое место во временной порядковой системе и характеризующий количественные отношения через конкретное множество единиц, это «аб­страктный объект», с которым можно произвести дейст­вия, и оно характеризуется не только через «меру» (по Га­льперину), но и через ее движение по измеряемому предме­ту (Давыдов, 1962); у четвертых число — это координация между ординацией и кардинацией, в связи с чем овладение понятием числа предполагает понимание взаимоотноше­ния между порядком и количеством и их взаимоотноше­ниями (Пиаже, 1965).

Также по-разному понимается процесс развития смыс­лового значения числа — от конкретного представления к по­нятию: одни авторы полагают, что смысловое значение числа становится понятийным благодаря накоплению все большего и большего количества разнообразных связей,

 

которые стоят за одним и тем же числом (Менчинская, 1957), другие считают, что это развитие возможно благода­ря слову, которое позволяет абстрагироваться от реально­го количества, представленного в чувственном материале (Гальперин, 1966); третьи утверждают, что овладение поня­тием возможно благодаря действию, произведенному с особым «абстрактным объектом» — числом (Давыдов, 1962), четвертые не исследуют путь формирования числа, а вместо этого определяют причину, по которой понятие числа у ребенка еще не возникло: ординация не находится в нужной координации с кардинацией (Пиаже, 1965).

Таким образом, анализ истории развития систем счис­ления позволяет сделать вывод, что система счисления представляет собой модель числа (а не просто обозначе­ние), необходимую для объективизации числа, которое яв­ляется абстрактным предметом. Именно благодаря объек­тивизации и возможно возникновение понятия числа (Цветкова, Олива, 1978). Предложенный В.В. Давыдовым метод откладывания чисел на оси по левую и правую сто­роны от исходной точки, соответственно принятой мере (используемый для ознакомления детей с числом и его со­держанием), предполагает наличие пространственного фактора в понятии числа, в операциях с ним и его исполь­зовании при обучении человека числу и счету в онтогенезе. Этот метод нам представляется весьма эффективным, по­скольку он отражает психологическое содержание числа. Несмотря на различия в этих исследованиях, все авто­ры указывают на сложную психологическую структуру числа, его связь с пространственным восприятием, с ре­чью и на необходимость высших форм анализа и синтеза для формирования полноценного понятия числа. Пройдя сложный путь формирования и развития, понятие числа у взрослого человека становится в высокой степени проч­ным и пластичным, а операции с числом — сокращенны­ми и автоматизированными.

Итак, что же такое число, понятие числа, каково его психологическое содержание? Понятие числа у взрослого человека может быть обусловлено по крайней мере четы­рьмя параметрами: непосредственным представлением ко­личества, стоящего за числом; положением числа в системе других числовых знаков, т.е. его положением в разрядной сет­ке (место в ряду цифр, составляющих число, и место в клас­се); осознанием внутреннего состава числа, его связей с дру­гими числами; пониманием сложной непрямой связи цифровой

записи числа и его выражения в речевой форме. Поэтому про­стые количественные представления, возникающие при их словесном обозначении («пять», «семь», «девятнад­цать» и т.д.), всегда опосредуются известным разрядно-позиционным строением записи числа.

В самом деле, цифра пять имеет разную количествен­ную характеристику в зависимости от места, занимаемого ею в записи числа: в одном случае это будет число 5000 (пять тысяч), в другом — 500 (пять сотен), в третьем — 500 000 (пятьсот, но уже тысяч). Здесь очевидна зависимость величины числа не только от места цифры в числе (пози­ция), но и от места внутри класса (разряд). Однако во всех этих случаях будет выступать натуральная цифра 5, а ее конкретное значение всякий раз зависит от позиционно-разрядной структуры многозначного числа. Эти слож­ные знания о значении цифры в связи с ее местом в разряд­ной сетке могут быть сформированы лишь на основе зри­тельно-пространственных представлений человека.

Далее, любое число предполагает наличие множест­венных связей с другими числами, которые можно обнару­жить, расчленив его на составные числа. Так, число 25 осознается человеком не как группа, состоящая из отдель­ных единиц; в его восприятии оно распадается на десятки и единицы, и значение этого числа осознается только че­рез восприятие его разрядного строения. Потенциально же оно может осознаваться и как 5x5, 30 —5, 20 + 5 и пр., то есть операция разложения числа на его составные элемен­ты создает возможность получения одного и того же числа различными способами. Все это говорит об огромном богат­стве потенциальных связей, стоящих за числом. Естест­венно, что сохранность числовых понятий должна выявля­ться не в сохранности внешних зрительных представлений записи числа — цифрового состава, а в сохранности тех сложнейших связей числа с логическими операциями, с пространственными представлениями, речью и т.д., кото­рые вводят число в сложную и стройную систему знаний. На основании анализа истории развития систем счис­ления и генезиса числа можно утверждать, что формирова­ние понятия числа связано с овладением системой счисле­ния. Последняя представляет собой модель числа (а не просто обозначение), необходимую для объективизации числа, которое само по себе является абстрактным предме­том. Состояние понятия числа у того или иного субъекта связано с овладением и усвоением современной системы

 

 

счисления. Этот вывод базируется на изучении истории развития числа и счетных операций и результатов исследо­вания больных с «акалькулией».

Благодаря объективизации понятия числа современ­ному человеку для овладения этим понятием не нужно проходить весь исторический путь его развития. Поэтому мы считаем, что деятельность по овладению разрядно-пози­ционной системой счисления есть деятельность, продуктом которой является понятие числа. Решающее значение для такого вывода имеет тот факт, что в процессе обучения дети могут овладеть системой счисления и понятием числа только с помощью взрослого человека. Деятельность по овладению системой счисления и понятием числа разви­вается так же, как и все другие высшие психические функ­ции, постепенно в процессе интериоризации приобретая «умственную» и сокращенную форму, «свернутый» харак­тер которой не позволяет видеть ее сложную структуру. Ж. Пиаже по этому поводу писал: «Основополагающие свойства числовой системы, природа и поведение чисел настолько глубоко укореняются, что среднему взрослому человеку они кажутся очевидными»1.

В истории учения о методах обучения арифметике так­же отмечаются разные взгляды на понятие числа и, соответ­ственно, на методы обучения счислительным операциям. Одно из этих воззрений, на базе которого был реализован так называемый метод изучения чисел, связано с понима­нием числа как чего-то созерцаемого, чего-то, что может быть представлено. В данном методе для овладения поняти­ем числа предлагалось заучивать числовой ряд (такого взгляда придерживался немецкий методист А.В. Грубе).

Сторонники другого, противоположного направления (в частности, Л./7. Гольденберг) утверждали, что преподава­ние арифметики должно переходить не от «числа к числу», а от действия к действию. По их мнению, понятие числа, как и каждое понятие, не подлежит ни созерцанию, ни представлению. Очень важный аргумент против метода изучения чисел, приведенный Д.Д. Галаниным, состоит в том, что факт, удержанный памятью как простое запоми­нание состава числа, является неподвижным, не способен ни к деформации, ни к развитию.

Овладение сложной структурой числа, его понятием является необходимой предпосылкой для перехода от по-

1 Пиаже Ж. Представления ребенка о числе. — М.: Просвещение, 1965.

 

нятия числа к действию с ним. Операции счета так же, как и понятие числа, сложны по своему психологическому строению, включены в десятичную систему счисления и зависят от нее. Сложность счетных операций обусловлива­ется множеством различных факторов и прежде всего на­личием десятичной системы и отвлеченных чисел, с кото­рыми человеку приходится оперировать, характером са­мой вычислительной операции и величинами, принимаю­щими участие в ней, способами, которыми совершается операция, участием речи в ней и т.д. Так, процессы сложе­ния и вычитания имеют разную психологическую структу­ру в зависимости от того, протекают ли эти операции в пределах десятка или с переходом через него. Операции в пределах десятка совершаются с использованием готовых числовых групп, операция же с переходом через десяток представляет собой сложную цепь взаимосвязанных про­межуточных операций (например, 33+28).

Более сложна операция вычитания. Уже отсчитывание по единице — система обратного порядкового счета — яв­ляется трудным процессом, и эти трудности возрастают, когда нужно отсчитывать не по единице, а небольшими группами единиц. Наибольшая сложность счислительного процесса связана с теми операциями вычитания, которые могут быть осуществлены лишь опосредованным путем, включающим ряд вспомогательных приемов, например, при вычитании с переходом через десяток (например, 55 — 8). В этом случае вычитание становится мыслительной де­ятельностью, включающей в свою структуру несколько последовательных операций. Здесь от субъекта требуется четкое знание разрядного строения числа, умение соответ­ствующим образом расчленять число и осуществлять про­межуточные операции, сохранять промежуточные звенья в оперативной памяти, причем все это должно протекать на фоне устойчивости общей программы деятельности, активности и регуляции действий. В операциях вычитания не менее важным фактором является сохранность про­странственных представлений, позволяющих субъекту установить в промежуточных операциях нужное направле­ние счета, которое выражается либо в прибавлении, либо в вычитании промежуточных результатов; например, при вычитании 17 из 35 (35 — 17) в одних случаях нужно при­бавлять промежуточное число, а в других — вычитать его: