Теоретико-множественный континуум
Современная наука из четырёх построений континуума приняла постулат-аксиому Аристотеля, вернее непрерывную делимость континуума. Непрерывную делимость континуума отрезка она довела до понятия точки, «решив» при этом обратную задачу: непрерывную линию, имеющую определённую длину, можно построить при помощи точек, не имеющих длины, что равносильно следующему математическому уравнению:
∑n0 = l
n ® ¥
Эта формула тождественна тому, что у вас в кармане, где нет денег, спонтанно появляется рубль. Эту же линию, согласно Г. Кантору, можно непрерывным делением превратить в нуль.
Такое представление непрерывности привело к глубокому кризису современной математики, физики и философии. По этому поводу я хочу привести слова Э. Шредингера: « Наша беспомощность перед лицом континуума, нашедшая отражение в современных сложностях квантовой теории, не появилась в последнее время, она ¾ крёстная мать науки, злая крёстная мать, если угодно ¾ как тринадцатая фея в сказке о спящей красавице»[136, с. 54].
В разделе 1.2.2 было кратко рассмотрено порождение трансфинитных чисел. Натуральный ряд целых чисел, взятый как таковой, Г. Кантор называет «первый числовой класс». Его мощность он обозначает через א0. Это первое трансфинитное число. Используя образование натуральных чисел прибавлением к одному натуральному числу единицы, Г. Кантор строит второй числовой класс, мощность которого он обозначает через א1. Проблема континуума утверждает, что мощность континуума есть первая несчётная мощность, т.е. א1 = с. Н. Н. Лузин неоднократно подвергал сомнению основной тезис Г. Кантора о возможности арифметизации континуума ¾ представления его как множество точек. По его мнению, представление о точечной структуре прямой построено на песке, и к построению трансфинитных чисел нельзя подходить с двузначной логикой. К бесконечной последовательности нельзя подходить с принципом исключенного третьего[137].
В отличие от физических теорий, которые базируются на эксперименте, математическая теория множеств строится из набора аксиом, единственным условием которых должно быть отсутствие внутреннего и логического противоречия. Математическая логика не может проверяться экспериментом. Она может проверяться только самой логикой, а это ведёт к непредсказуемым результатам. Вследствие этого в теории множеств существуют очень большое количество аксиоматических теорий: теория типов Б. Рассела, теория Цермело, теория Цермело-Френкеля, теория Неймана-Бернайса, теория Куайна, теория множеств для натуральных чисел Т1, теория множеств для действительных чисел Т2, теория множеств для функций Т3 и др.[138]. Эти теории иногда взаимно исключают друг друга и очень часто результаты одной теории противоречат результатам другой. Исследования К. Гёделя, П. Коэна, Т. Сколема показали, что понятие мощности множества, как и понятие множества не является определённым. Не существует никакой абсолютной несчётности. Множество счётное в данной аксиоматике, может оказаться несчётным в другой. При таком подходе совершенно не возможно построить континуум даже при помощи трансфинитных чисел.
П. Дж. Коэн, филдсовский медалист, воспринял теорию множеств «как весьма успешную оболочку, не имеющую ничего общего с настоящими» множествами, а в лучшем случае описывающую некоторый тип умственного процесса (курсив мой ¾ Е. Ч.), употребляемого при описании таких настоящих (real) объектов, как натуральные числа»[139, с. 280]. Современная теория потенциально и актуально бесконечных множеств действительно существует только в пространстве мышления некоторых математиков и ничего общего с реальной (финитной) теорией не имеет. Математическое понятие потенциальной бесконечности восходит к Галилео Галилею, в которой он утверждал, что области действительных чисел конечных и бесконечных множеств подчиняются разным законам [140]. Рассмотрим эти законы.
Из n чисел натурального ряда
1, 2, 3, …, n,…
выделяют, например, его часть ¾ множество чётных чисел
2, 4, 6,…, 2n,…
Вся математическая теория множеств построена исключительно на отображении одного элементе на другой элемент. На основании этого считается, что мощность множества действительных чисел равна мощности множества чётных чисел, т. е. натуральных чисел столько сколько и чётных чисел. Так ли это?
Множества, подчиняющиеся понятию потенциальной бесконечности, могут быть двух видов: построенные (выполненные), переходящие в актуальную бесконечность; или непрерывно строящиеся (не выполненные). Рассмотрим уже построенные оба множества. Множества сравнивают, причём в качестве элемента второго ряда берут элемент, содержащий две единицы. Множества считаются равнозначными или эквивалентными, если каждому элементу одного множества соответствует один и только один элемент другого множества. Отсюда делается вывод: множество натуральных элементов содержит столько же элементов, сколько и его часть ¾ множество чётных чисел и, следовательно, часть равна целому. Господа математики, если вы построили весь ряд чисел по Г. Кантору, то мощность этого множества составляет א0. Сразу задаётся вопрос א0: четное число или нечётное? По этому поводу математика хранит гордое молчание. Если чётное, то чётных чисел будет меньше ровно в 2 раза, чем чисел, построенного натурального ряда. Если нечётное, то чётных чисел будет меньше в 2раза минус один, чем чисел, построенного натурального ряда. На самом деле невозможно построить все числа натурального ряда как такового и поэтому сравнение этих двух рядов невозможно.
Оба множества находятся в стадии становления, т. е. они не закончены (не выполнены) по построению. Сразу задаются вопросы: как они строятся, по какому принципу? Для того чтобы получить nf0 внутренних чисел, необходимо отобразить mf¥ внешних предметов как чисел в пространство мышления человека, получив число m{0f& ¥f}. Далее, считающий субъект пролонгирует эти числа m{0f& f¥} на большее количество вплоть до n{0f& f¥}. Этот ряд заложен в память человека. Откуда взялось 2nf0, если мы пролонгировали ряд действительных чисел только до nf0? Нет числа 2n{0f& f¥} во внутреннем пространстве считающего субъекта. Для того чтобы сравнить эти два ряда необходимо пролонгировать и первый ряд до 2n{0f& f¥}. Если множество строится по одному и тому же принципу: к единице прибавляется единица, то первое множество при достижении значения n уже будет построено, а второе множество будет ещё строиться. Как их при этом сравнивать? Вводить физическое понятие скорость счёта? Если же строить первое множество прибавлением единицы к единице, а второе по двоичной системе, считая двойку как единицу, то никаких противоречий не получается. В первом и во втором множестве получается одинаковое количество элементов ¾ n. Абсурдность получается, когда после такого становления, единицу второго множества выражают через единицу первого, пологая 1=2. Об этом метаматематики забывают (в том числе и Г. Галилей) и, делая подмену, сравнивают совершенно не сравнимые понятия. Начинают восхищаться полученными результатами: часть равна или больше целого! «Вместо того чтобы считать абсурдом подобные свойства бесконечно возрастающих рядов, они (математики) ввели эти парадоксальные особенности в самоё определение бесконечных классов вещей. Теперь всякий класс называется бесконечным, если его части количественно подобны ему самому», ¾ отмечает философ У. Джеймс[141, с. 116]. Кроме того, в теории множеств совершенно путаются два процесса ¾ нумерация и количество чисел. По нумерации всё правильно, но количество единиц, во втором множестве ровно в два раза больше, чем в первом. Это всё равно, что сравнивать 10 гирь по одному кг, и 10 гирь по два кг. Количество пронумерованных гирь одно и то же ¾ 10. На самом же деле количество элементов, составляющих основу гирь во втором случае в 2 раза больше. Попробуйте на рынке взвесить два кг винограда при помощи гири в 1кг, и объясните теорией множеств, что это одно и то же. Вам покупатель тут же голову оторвёт. Я никак не могу понять, почему метаматематики не могут уяснить эту простую истину и с восторгом пишут учебники и доказывают теоремы при помощи этих подмен.
После того как была доказана гёделевская теорема о неполноте, как это покажется невероятным, теория трансфинитных множеств ещё более укрепилась. Вот что по этому поводу пишет П. Дж. Коэн: «...как это следует из гёделевской теоремы о неполноте, мы можем порождать арифметические суждения, доказуемые в теории множеств, но не в системах более низкого уровня. Попросту отбросить эти суждения и навсегда отказаться от любой возможности разрешить их ¾ это столь же неудовлетворительно, как и не знать, что делать с КГ»10[139, с. 280]. Мы можем порождать «более высокой системой» пространства мышления всё, что заблагорассудится, несмотря на то, что природа всего конечномерного материального мира и само пространство мышления доказывает невозможность построения трансфинитных множеств при помощи конечных величин. Вопрос, стоящий перед математиками, равна ли мощность трансфинитных чисел мощности континуума является бесперспективным, т. к. количественно континуум не счётен, ибо в нём нет чисел.
10 континуум-гипотеза
Абсолютный континуум
Для того чтобы получить математическую запись континуума пространства, воспользуемся изречением Г. Вейля: «Математика есть наука о бесконечном, её целью является постижение человеком, который конечен, бесконечного с помощью знаков»[142, с. 7]. «Осознание мира, как он приходит к нам от Бога, не может быть достигнуто путём знания, кристаллизованного в отдельных суждениях, имеющих независимое значение и относящихся к определённым фактам. Оно может быть получено только путём знаковой <symbolical> конструкций»[142, с. 28]. Г. Вейль математик, для него, да и не только для него, вся математика выражается в символах, следовательно, континуум пространства можно выразить также через символ. Конечномерные пространства в математике и физике выражаются в единицах длины: см1, см2, см3, …, смn. Такое выражение можно представить как количественно-качественную запись, где количество стоит в пред экспоненте, а качество в степенной функции. Следовательно, и континуум пространства должно иметь как количественную составляющую, так и качественную.