Основные свойства определителей и их геометрический смысл.
1) Транспонированная матрица. При транспонировании определитель не меняется: 
= 
.
2) Если А, В две квадратные матрицы, то 
.
Рассмотрим доказательство для n=2.
, 
.
Произведение матриц:
= 
, её определитель:
=
=
полностью вычитаются 1-е и 5-е слагаемое, а также 2-е и 8-е.
= 
.
В то же время, произведение определителей равно
= 
.
То есть это то же самое выражение.
3) Если строка или столбец матрицы состоит из нулей, то 
.
Геометрический смысл: Если в системе векторов есть 0 - вектор, то объём параллелепипеда равен 0.
4) Если любую строку (столбец) матрицы умножить коэффициент с, то увеличится в с раз.
Это свойство даёт возможность выносить общий множитель за знак определителя из какой-либо строки.
Геометрический смысл: Если умножить на коэффициент даже один из векторов, образующих параллелограмм, то площадь параллелограмма умножится на этот коэффициент.
Если умножить не один, а оба вектора, то площадь увеличится в 
раз. Для 3 векторов в пространстве и параллелепипеда, если умножить каждый вектор на 
, то объём вырастет в 
раз. Для матриц 
получается
Следствие: 4а) 
.
5) Если поменять местами любые две строки (или два столбца), то сменит знак.
Это связано с тем, что при смене мест 2 элементов в перестановке меняется чётность: одна инверсия появится или наоборот, исчезнет.
6) Если матрица содержит две одинаковых (или пропорциональных) строки или столбца, то .
Доказывается из предыдущего свойства: если в матрице две одинаковые строки, то меняя их местами, мы изменим знак, но они же одинаковы, поэтому не должен измениться. Тогда = 
, то есть . Для пропорциональных то же самое, так как можем сначала вынести коэффициент за знак определителя, и строки станут одинаковыми, а тогда .
Геометрический смысл. Если два ребра параллелепипеда коллинеарны, то объём 0.
7) Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов, то данный определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые (все остальные строки в обоих определителях без изменения).
Чтобы легче запомнилось, покажем на примере произвольных матриц 2-го порядка.
= 
+ 
.
действительно: 
= 
= 
.
Для матриц большего порядка, аналогично, в любом из n! слагаемых по n элементов, какой-то один окажется суммой двух чисел, в итоге каждое слагаемое распадётся на два, и в сумме будет 2 n! слагаемых, где одни n! образуют 1-й определитель, а другое n! - второй.
8). Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, не изменится.
Если в предыдущем свойстве в роли вторых элементов взяты элементы другой строки этой же самой матрицы, домноженные на коэффициент k, то:
= 
+ 
тогда во 2-м определителе строки пропорциональны, он равен 0. То есть мы видим, что если к одной строке прибавить строку, кратную какой-то строке из этой же матрицы, определитель не изменится.
Это важное свойство даёт возможность преобразовывать и упрощать матрицы в процессе вычисления определителей.
Замечание. Очевидно, что можно не только прибавить, но и отнять от строки строку, ведь мы можем домножить на коэффициент 
.
Геометрический смысл. Если к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменится, основание и высота остались старыми, см. чертёж:
Здесь площадь параллелограмма, образованного векторами a,b такая же, как для образованного векторами a, b+2a.
Из свойства 8 следует, что строки можно складывать и вычитать, на этом основан метод Гаусса приведения к треугольной форме.
Важно! Определитель не меняется (св-во 8), если умножать строку в уме (в буфере обмена) и затем, уже кратную, прибавлять к какой-либо другой. Если же просто умножать строку, которая находится в матрице, то определитель умножится на коэффициент (свойство 4). Это совершенно разные операции, не надо их путать.
Пример.
Вычислить 
приведением к треугольной форме.
Заметили, что ниже углового элемента (1) число 2. Поэтому из 2-й строки вычтем 1-ю, домноженную на 2. То есть, вычитать надо строку (2 6).
= 
= 
= 1.
Следствие 8 а). Если какая-либо строка матрицы является суммой других строк, то .
Доказательство: Если третья строка есть сумма первой и второй, то вычитая 1-ю и 2-ю из неё, получим строку из нулей.
Пример (метод Гаусса, приведение к треугольной форме).
Применим свойство 8 к вычислению такого определителя: 
.
Постараемся обнулить все элементы ниже, чем 
.
Из 2-й строки вычтем 1-ю строку: = 
.
Теперь из 3-й вычтем удвоенную 1-ю, будет 
.
Чтобы завершить приведение к треугольному виду, вычтем из 3-й строки удвоенную 2-ю, получится 
. А теперь просто найдём произведение чисел по диагонали, так как привели к треугольной форме. Определитель равен 2.
Этот метод особено будет нужен в теме «системы уравнений», но, как видим, помогает и при вычислении определителей.
§ 3. Обратная матрица.
Определение вырожденной матрицы ( ), невырожденной матрицы ( 
).
Определение обратной матрицы. Пусть 
- квадратные матрицы. Если 
то 
называется обратной матрицей для матрицы 
.
Обозначение: Обратная матрица обозначается 
.
Замечание. Для чисел, которые являются матрицами порядка 1, обратный элемент вычисляется известным образом, например 
, 
.
Итак, 
. Но оказывается, что не для любой квадратной матрицы существует обратная.
Лемма.Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А невырожденная.
Для доказательства рассмотрим 
. Если то 
, то есть существовало бы такое число, которое при умножении на 0 даёт результат 1, но это невозможно. Получили противоречие.
Формула вычисления элементов обратной матрицы: 
.
Алгоритм нахождения .
1. Проверить невырожденность с помощью определителя.
2. Составить матрицу из дополняющих миноров Mij.
3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)i+j, где i,j - номера строки и столбца.
Получатся алгебраические дополнения Aij.
4. Транспонировать полученную матрицу.
5. Поделить на определитель исходной матрицы.
Пример. 
= ?
Решение. 
. Вывод: , существует обратная матрица.
Матрица из миноров: 
. Матрица из алг. дополнений: 
. Транспонируем её: 
. Делим её на определитель, и записываем ответ: = 
.
Можно сделать проверку: 
= 
.
Пример.Найти обратную матрицу: 
Решение. 1) 
. , существует .
2) Запишем матрицу, состоящую из всех возможных миноров 
, которых существует 9 штук: 
= 
.
3) Матрица из алгебраических дополнений: 
.
(т.е. в шахматном порядке изменили знаки, там где сумма номеров строки и столбца нечётна).
Транспонируем её: 
. Делим на определитель, равный 2, итог: = 
.
ЛЕКЦИЯ № 3. 16.09.2016
§ 4. Ранг матрицы.
Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях, очевидно, получится минор из k2 элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.
Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы.
Обозначается 
. Примеры:
Матрица размера 
ранга 2. 
. Здесь есть невырожденный минор порядка 2, 
.
Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.
поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден.
Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, 
. Цветом закрашен базисный минор.
Ранг прямоугольной матрицы размера m*n меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.
Пример. Матрица ранга 1. Здесь все строки пропорциональны 1-й. 
Матрица А является матрицей ранга 0 
она состоит только из нулей (очевидно, что если в матрице есть хоть один элемент, не равный 0, то он уже является минором 1 порядка, то есть ранг не 0, а уже 1).