Комбинированный метод штрафных функций
Вернемся к рассмотрению задачи условной оптимизации (3.1) со смешанными ограничениями. Данный метод является обобщением методов, изученных в предыдущих пунктах 3.1.1 и 3.1.2. А именно, для учета ограничений типа равенств применяют штрафные функции (как в методе внешней точки), дляограничений типа неравенств – барьерные функции.
Таким образом, в основе комбинированного метода лежит сведение исходной задачи условной минимизации (3.1) к последовательности задач без ограничений вида
,
где присоединенная функция имеет вид
(3.9)
Начальная точка задается внутри допустимой области R, то есть при строгом выполнении ограничений типа неравенств 
, s=1,...,p. На каждом k-том этапе точка минимума расширенной функции 
ищется при заданном значении rk с помощью одного из методов безусловной минимизации. Полученная точка 
используется в качетве начальной на следующем этапе, выполняемом при уменьшающемся значении параметра rk. При 
последовательность точек стремится к точному решению X* исходной задачи.
Типовой пример
Найти минимум функции f(X)=(x1-2)2+(x2-1)2 при смещанных ограничениях h(X)=x1-2x2+1=0; g(X)=-0,25x12-x22+1³0.
Воспользуемся комбинированным методом штрафных функций.
Построим расширенную функцию: 
;
Минимизацию F(X,r) выполним градиентным методом в соответствии с которым направление спуска выбирается по антиградиенту 
. Тогда минимизирующая последовательность построится по рекуррентной формуле
, k=0,1,2,...
Для этого на каждом шаге нам понадобятся значения функций:
;
;
Следуя методу градиентного спуска, координаты (k+1)-й точки Xk+1 будут вычисляться так:
; 
.
В качестве исходной точки выберем X0=(0,5;0,5). Результаты решения последовательности задач при увеличивающемся значении r, начиная с r=1, приведены в таблице
| N | r | 
| 
| f(X*(r)) | h(X*(r)) | g(X*(r)) |
| 0,500 | 0,500 | 2,500 | 0,500 | 0,680 | ||
| 0,872 | 0,841 | 1,298 | 0,190 | 0,210 | ||
| 0,846 | 0,885 | 1,345 | 0,076 | 0,038 | ||
| 0,838 | 0,904 | 1,359 | 0,030 | 0,007 | ||
| Точное решение | 0,823 | 0,911 | 1,393 |
Задание для лабораторной работы
Решить задачи условной оптимизации со смешанными ограничениями:
1. Найти минимум функции f(X)=x12+x22-4x1-2x2+5 при ограничениях h(X)=-x1+2x2=1; g(X) = -0,25x12-x22³1;
2. Найти минимум функции f(X)=x12+x22-16x1-10x2+89 при ограничениях h(X)=2x12-12x1+9x2-27=0; g(X) = -5x12+16x2+80³0;
3. Найти минимум функции f(X)=x12+x22-14x1-4x2+53 при ограничениях h(X)=2x12+25x2 – 125=0; g(X) = -x12+2x1+4x2-3³0;
4. Найти минимум функции f(X)=x12+9x22-10x1-18x2+34 при ограничениях h(X)=x1+x2 – 5=0; g(X) = -0,5x12+x2 - 4.5³0;
5. Найти минимум функции f(X)=x12+4x22-10x1 -16x2+41 при ограничениях h(X)=x12-4x1+x2 -1=0; g(X)=-x12+4x1+3x2 -3³0;
6. Найти минимум функции f(X)=x12+4x22-8x1-16x2+32 при ограничениях h(X)=-x1+x2 -1=0; g(X)=-2x12+4x1+x2-1³0;
7. Найти минимум функции f(X)=x12+9x22-10x1-36x2+61 при ограничениях h(X)=x12-4x1+4x2- 12=0; g(X)=-3x12+7x2 + 27³0;
МЕТОД ВОЗМОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
Постановка задачи выпуклого программирования
Рассмотрим задачу выпуклого программирования (ЗВП)
(3.10)
Введем обозначения
(3.11)
Тогда задачу (3.10) можно записать следующим образом
(3.13)