расчета температурных полей

Для ограждающих конструкций зданий плоское температурное поле характерно при наличии в них элементов каркаса, перемычек и пр., когда их протяженность значительно превышает толщину ограждения.

На процесс теплопередачи в рассматриваемой конструкции оказывают существенное влияние теплопроводные включения, например, стальные профили, образующие так называемые «мостики холода». Для разрыва этих мостиков холода профили соединяют с конструкцией, например, через фанерные прокладки. Подобный участок конструкции возможно выделить для расчета температурного поля. Температурное поле рассматриваемого участка двухмерно, так как распределение температуры во всех плоскостях, параллельных плоскости поперечного сечения конструкции, одинаково. Профили в основной части находятся на расстоянии 1, 2, …, х, м, один от другого (рисунок 3).

При определении приведенного сопротивления теплопередаче , м^2.оС/Вт, по данным расчета на персональном компьютере (ПК) стационарного двухмерного температурного поля исследуемая область, выделенная для расчета температурного поля, представляет собой фрагмент ограждающей конструкции, для которого надлежит определить величину .

Искомая величина

(3.1)

где ∑Q – сумма тепловых потоков, пересекающих исследуемую область, Вт/м², определенная в результате расчета температурного поля;

t_int, t_ext – соответственно температура внутреннего и наружного воздуха, ^оС;

L – протяженность исследуемой области, м.

При расчете двухмерного температурного поля выбранный участок вычерчивают в масштабе и на основании чертежа составляют схему расчета, упрощая ее для удобства разбивки на участки и блоки.

При этом:

- заменяют сложные конфигурации участков более простыми, если это имеет незначительное влияние в теплотехническом отношении;

- наносят на чертеж границы области исследования и оси координат (х, у или r, z). Выделяют участки с различными теплопроводностями и указывают условия теплообмена на границах. Проставляют все необходимые размеры;

- расчленяют область исследования на элементарные блоки, выделяя отдельно участки с различными коэффициентами теплопроводности. Вычерчи-

вают в масштабе схему расчленения исследуемой области и проставляют размеры всех блоков;

- вычерчивают область исследования в условной системе координат х’, y’, когда все блоки принимаются одного и того же размера. Проставляют координаты вершин полигонов, ограничивающих участки области с различными теплопроводностями (рисунок 4).

Рисунок 3 – Схема расположения узлов двухмерной сетки для расчета

температурного поля

Дифференциальное уравнение плоского температурного поля имеет следующий вид:

вt/Ðx² = вt/Ðy². (3.2)

Интегрирование этого уравнения в общем виде – задача весьма сложная. Она еще более усложняется наличием в пределах поля материалов с различными коэффициентами теплопроводности. Задача значительно упрощается при решении уравнения в конечных разностях. При этом дифференциальное уравнение заменяется системой линейных уравнений, неизвестными в которых будут значения искомой функции в точках поля, лежащих в узлах сетки, составленной из квадратов со стороной принятого размера Δ.

В конечных разностях уравнение имеет вид:

τ_xx +τ_yy =0, (3.3)

где τ_xx ,τ_yy – вторые конечные разности функций τ соответственно по x и по y.

Выписывая их подробно, получим (рис. 4 )

(τ_x+Δ_,y - 2 τ_x,y + τ_x- Δ _,y)/ Δ² +(τ_{x,y +}Δ - 2 τ_x,y + τ_{x ,y -} Δ)/ Δ²=0.

Откуда, решая полученное уравнение относительно τ_x,y, будем иметь:

τ_x,y = (τ_x+Δ_,y + τ_x- Δ _,y +τ_{x,y +}Δ + τ_{x ,y -} Δ)/4,

т.е. в однородном поле температура в каждом узле сетки должна равняться средней арифметической температур четырех соседних узлов.

Рассмотрим узел с температурой τ_x,y . Квадрат, в центре которого находится этот узел, получает (или отдает) теплоту в направлении к точкам, расположенным в четырех соседних узлах сетки, имеющих температуры

τ_x+Δ_,y , τ_x-Δ _,y , τ_{x,y +}Δ , τ_{x ,y –} Δ. Количество теплоты, которым обменивается с окружающим материалом квадрат, вырезанный вокруг точки x,y , будет зависеть не только от температуры соседних узлов, но и от величины коэффициентов теплопередачи в направлении нитей сетки между точкой x,yи этими точками. Обозначив коэффициенты теплопередачи буквами kс соответствующими индексами, получим:

2- количество теплоты, передаваемого в направлении от узла x,y к узлу с температурой τ_x-Δ _,y

Q₁ = (τ_x,y - τ_x-Δ _,y )k _x-Δ; (3.4)

2- количество теплоты, передаваемого в направлении от узла x,y к узлу с температуройτ_{x,y +}Δ