Обчислювальна похибка формул чисельного диференціювання

Чисельне диференціювання

 

Чисельне диференціювання (Ч.д.) дозволяє обчислити значення похідних функції коли вона задана не аналітично, або аналітичне диференціювання утруднене.

 

Формули чисельного диференціювання

Прості формули Ч.д. отримуються диференціюванням інтерполяційних формул. Наблизимо функцію інтерполяційним многочленом, побудованим за формулою Лагранжа на рівновіддалених вузлах.

 

,

де ; - відстань між вузлами ( ).

Відповідно похідну функції наблизимо похідною інтерполяційного многочлену:

 

(1)

(тут враховано, що ).

 

Оцінка похибки для похідної буде (див. оцінку похибки інтерполяції)

 

,

де .

При обчисленні значень похідної у вузлах:

 

. (2)

 

Загальні вирази (1) і (2) дають змогу отримати розрахункові формули при конкретних значеннях степеня інтерполяційного многочлену .

При =1:

; . (3)

При =2:

; ;

; ; (4)

; .

 

Аналізуючи (2) та вирази для похибок у (3) і (4) зверніть увагу на наступне.

1) Похибка пропорційна кроку між вузлами у степені, що дорівнює степеню інтерполяційного многочлену. При зменшенні кроку у два рази похибка Ч.д. при =1 зменшується теж у два рази, а при =2 – у чотири.

2) Похибка залежить від похідної функції порядку на 1 більше степеня інтерполяційного многочлену.

3) Похибка менше для вузлів у середині інтервалу і зростає для крайніх вузлів.

Втім треба зазначити, що висновок 1) стосується тільки похибки методу. При наявності похибки обчислень можливість зменшення загальної похибки за рахунок зменшення є обмеженою. Ретельніше це питання буде розглянуто далі.

 

Зображення похідних розділеними різницями

Наблизимо функцію і її похідні до -го порядку відповідно інтерполяційним многочленом, побудованим цього разу за формулою Ньютона на довільно розташованих вузлах, і його похідними.

 

. . . . . . . . . . . . . . . .

де .

 

При використанні для похідної кожного порядку окремо многочлена мінімального степеня отримаємо залежності, які показують зв’язок між похідними і розділеними різницями відповідних порядків:

 

. . . . . . . . . . . . . . . .

 

Зображення похідних скінченими різницями

Наблизимо функцію і її похідні до -го порядку відповідно інтерполяційним многочленом, побудованим за формулою Ньютона на рівновіддалених вузлах, і його похідними.

 

. . . . . . . . . . . . .

,

де .

При використанні для похідної кожного порядку окремо многочлена мінімального степеня отримаємо залежності, які показують зв’язок між похідними і скінченими різницями відповідних порядків:

;

;

;

. . . . . . . . . . . . .

.

 

Як і раніш, похибка цих формул менше для середніх вузлів.

 

Обчислювальна похибка формул чисельного диференціювання

Оцінки похибки (2)-(4) стосуються похибки методу. При чисельному диференціюванні зменшення похибки методу може призвести до зростання впливу похибки обчислень, яка виявляється у неточності значень функції.

Нехай похідна функції обчислюється за формулою:

.

Тоді оцінкою похибки методу буде:

, де .

Похибка значень функції нехай буде , тобто:

.

Звідси похибка обчислень за формулою (5) буде:

.

Оцінка сумарної похибки значення похідної:

При зменшенні кроку диференціювання перший доданок зменшується, а другий зростає і навпаки, як це видно на графіку.

 

Таким чином теоретично існує оптимальний крок, при якому похибка диференціювання буде мінімальною:

, а .

При подальшому зменшенні починається прискорене зростання похибка диференціювання.

Вплив похибки обчислень при чисельному диференціюванні зростає для похідних вищих порядків. Як це відбувається можна простежити на прикладі обчислення скінчених різниць послідовних порядків, враховуючи їх зв’язок з похідними. Нижче наведена таблиця, в якій по п’яти значенням функції обчислені центральні скінчені різниці до четвертого порядку включно. Для простоти прийнято, що тільки одне значення функції у середньому вузлі має похибку . Тут треба пригадати, що значенням різниці є різниця двох сусідніх значень, розташованих у стовпці зліва, і що відноситься воно (для центральної різниці) до середини інтервалу. Видно, як збільшуються відповідні похибки скінчених різниць зі зростанням їх порядку.

 

Производная функции есть предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной

.

При численном нахождении производной заменим отношение бесконечно малых приращений функций и аргумента отношением конечных разностей. Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее численное значение производной.