Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.
1)  на отрезке 
| 2)  на отрезке 
|
Задача №3
Найти экстремумы и интервалы монотонности функций.
1) 
|
2) 
|
3) 
|
4) 
|
5) 
|
Задача №4
Найти асимптоты следующих кривых.
1) 
|
2) 
|
3) 
|
4) 
|
Задача №5
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций.
1) 
|
2) 
|
3) 
|
4) 
|
Задача №6
Построить графики функций.
1) 
| 2) 
|
Задача №7
Найти частные производные 
и 
следующих функций.
1) 
|
2) 
|
3) 
|
Задача №8
Найти в точке A градиент функции 
и производную по направлению вектора 
.
1)  
| 2)  
|
Задача №9
Найти экстремумы функции двух переменных: 
Решение задачи №1
Сначала находим производную 
в произвольной точке 
, а затем производим вычисления в конкретной точке 
, соблюдая следующий порядок действий:
- находим значение
;
- находим производную
; - подставляя найденные значения в уравнения касательной и нормали (20) и (21), получаем нужные уравнения касательной и нормали.
1) Имеем: 
.
Для точки с абсциссой в точке 
находим:
-
; -
; -
– уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Для точки с абсциссой в точке 
находим:
-
; -
; -
– уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Для точки с абсциссой в точке 
находим:
-
; -
; -
– уравнение касательной;
– уравнение нормали.
2) Имеем: 
.
Для точки с абсциссой в точке находим:
-
; -
; -
– уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Для точки с абсциссой в точке 
находим:
-
; -
; -
– уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Для точки с абсциссой в точке 
находим:
-
; -
; -
– уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Решение задачи №2
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции 
на данном отрезке 
могут достигаться в критических точках функции (т.е. в точках, в которых 
или 
не существует) или на концах отрезка . Порядок действий таков:
- проверяем, что заданная функция на данном отрезке является непрерывной;
- ищем производную заданной функции (там, где она существует);
- находим критические точки функции и выбираем из них те, которые принадлежат интервалу
; - вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка; сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее значения функции на .
1) Рассмотрим функцию на отрезке 
.
· Заданная функция является многочленом, а многочлен имеет производную в каждой точке прямой. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке .
· Вычисляем производную функции: 
.
· Находим критические точки: 
. Данному отрезку принадлежит только точка 
.
· Вычисляем значение функции в точке 
и значения функции на концах заданного отрезка. Имеем:
, 
, 
.
Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значение функции достигается в точке и оно равно 
, а наибольшее значение функции достигается в точке 
и оно равно 27.
2) Рассмотрим функцию на отрезке 
.
· Заданная функция является дробно-рациональной функцией, которая дифференцируема во всех точках, в которых знаменатель неравен нулю. Знаменатель обращается в нуль в точке 
, которая не принадлежит отрезку . По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке .
· Вычисляем производную функции: 
.
· Так как 
, то критических точек нет.
· наибольшее и наименьшее значения функции достигаются в граничных точках отрезка: 
; 
.
Решение задачи №3
План исследования функции на экстремум с помощью первой производной таков:
- находим область определения функции
; - находим ;
- находим критические точки функции
(то есть те точки, в которых или не существует); пусть этими точками будут точки с абсциссами 
, которые расположены в порядке их возрастания; - разбиваем критическими точками на интервалы и внутри каждого интервала методом пробных точек находим знак ; все действия оформляем в виде таблицы (см. примеры 21–25 из лекции 8);
- используя теоремы 17 и 18 из лекции 8, определяем, на каких интервалах данная функция возрастает, на каких убывает, а также находим точки локального экстремума.
1) Рассмотрим функцию .
· Очевидно, что 
.
· Производная существует на всей числовой оси. Вычисляем: 
.
· Решаем уравнение : 
, 
– критические точки.
· Все дальнейшие действия оформляем в виде таблицы:
|
| 
| 
| 
| ||
|
| – | – | + | ||
|
| 
| 
| 
| 
| |
| нет extr | min
|
Первая строка – это область определения функции, раздробленная на интервалы критическими точками. Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой производной . В интервале возьмем, например, точку 
и получаем 
; в интервале возьмем точку 
и получаем 
; в интервале возьмем точку 
и получаем 
(вместо этих точек в каждом из интервалов можно взять любые другие точки – результат будет тот же самый). Полученную информацию заносим во вторую строку таблицы.
- Применяя теорему 17, заключаем, что на интервалах
и 
функция строго монотонно убывает, а на интервале 
– строго монотонно возрастает. Используя теорему 18, приходим к заключению, что в критической точке экстремума нет (как убывала функция до этой точки, так и убывает после нее); в критической точке имеем локальный минимум. Полученные результаты заносим в третью и четвертую строки таблицы.
2) Рассмотрим функцию .
- .
-
. - :
, 
. - Составляем таблицу:
|
|
| 
| 
| 
| |
|
| – | + | – | ||
|
| 
| 
| 
| 
| |
min
| max
|
Ясно, что – точка минимума, а 
; – точка максимума, причем 
.
3) Рассмотрим функцию .
-
. -
. -
, 
– критические точки. - Строим таблицу:
|
| 
| –3 | 
| 
| 
| 
|
|
| – | + | + | – | ||
|
| 
| 
| 
| 
| ||
| min
| max
|
Заметим, что мы не внесли в первую строку таблицы значение аргумента , так как оно не входит в 
. Итак, получаем: – точка минимума и 
, а 
– точка максимума, причем 
.
4) Рассмотрим функцию
.
-
. -
. -
, 
– критические точки. - Строим таблицу:
|
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
|
| + | – | – | + | ||
|
| 
| -4 | 
| 
| 
| |
max
| min
|
Итак, – точка максимума и 
, – точка минимума и 
.
5) Рассмотрим функцию .
-
, так как логарифм существует только для положительных значений аргумента. 
.-
– критическая точка. - Строим таблицу:
|
| 
| 
| |
|
| – | + | |
|
| 
| 
| 
|
| min
|
Решение задачи №4
1) Функция есть несократимая дробно-рациональная функция (т.е. ее числитель и знаменатель не имеют одинаковых корней). По теореме 21 из лекции 9 каждый корень 
ее знаменателя порождает вертикальную асимптоту 
. Имеем: 
. Таким образом, 
— вертикальная асимптота графика функции .
По той же теореме 21 правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты дробно-рациональной функции совпадают и вычисляются по формуле 
, где 
и 
(формулы (29)-(30) в лекции 9). Имеем:
, 
.
Таким образом, 
— наклонная асимптота графика функции (на самом деле эта асимптота является горизонтальной, так как прямая параллельная оси 
).
2) Эта задача решается точно так же, как предыдущая. Приравниваем знаменатель рассматриваемой функции к нулю: 
Имеем две вертикальные асимптоты: 
и 
.
Далее, 
, 
. Таким образом, прямая 
(т.е. ось ) является наклонной (горизонтальной) асимптотой функции .
3) Знаменатель функции не имеет корней, поэтому эта функция не имеет вертикальных асимптот.
Найдем наклонную асимптоту. Имеем:
, 
.
Получаем наклонную асимптоту .
4) Функция не является дробно-рациональной, поэтому нахождение ее вертикальных и наклонных асимптот следует производить непосредственно по формулам (28)–(30). Эта функция определена 
. Сначала будем искать вертикальные асимптоты. Имеем:
, следовательно, по теореме 19 прямая является правосторонней вертикальной асимптотой;
, следовательно, по теореме 19 прямая не является левосторонней вертикальной асимптотой.
Теперь будем искать наклонные (правосторонние и левосторонние) асимптоты. Имеем:
, 
, следовательно, по теореме 20 прямая 
является наклонной (горизонтальной) правосторонней асимптотой;
, 
, следовательно, по теореме 20 прямая является наклонной (горизонтальной) левосторонней асимптотой.
Решение задачи №5
Нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости функции производится по той же схеме, что и нахождение точек локального экстремума и интервалов монотонности, только здесь вместо первой производной используется вторая производная (см. лекцию 10).
1) Рассмотрим функцию .
· 
.
· 
.
· 
.
· 
— точка, подозрительная на перегиб.
· Строим таблицу:
|
|
| 
| |
| – | + | |
|
| 
| 
| |
| перегиб |
Поясним построение таблицы. Ясно, что на интервале выполняется неравенство 
, а на интервале — неравенство 
. Поэтому по теореме 23 на первом интервале функция строго выпукла вверх, а на втором — строго выпукла вниз. Применяя теорему 26, получаем, что — точка перегиба.
2) Рассмотрим функцию .
- .
-
. -
. -
— точка, подозрительная на перегиб. - Строим таблицу:
|
| 
| 
| 
|
|
| – | + | |
|
|
|
|
|
| перегиб |
3) Рассмотрим функцию .
- .
-
. -
. -
, 
. - Строим таблицу:
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
| + | – | + | ||
|
|
| 
|
|
|
|
| перегиб | перегиб |
Рассмотрим функцию .
- .
-
. -
. -
. - Составим таблицу:
|
| 
| 
| 
|
|
| – | + | |
|
|
| 
|
|
| перегиб |
Отметим, что для определения знака функции на интервале может быть взята точка 
, а на интервале — точка 
.
Решение задачи №6
Под полным исследованием функции и построением графика понимается следующая последовательность действий:
- нахождение
— области определения функции; - определение интервалов возрастания и убывания и локальных экстремумов функции; построение соответствующих элементов графика;
- определение асимптот графика функции; построение ветвей графика, уходящих на бесконечность;
- исследование на выпуклость; уточнение поведения графика.
1) Рассмотрим функцию .
- .
- Определяем интервалы возрастания и убывания функции и экстремум функции:
; 
, 
, 
– критические точки.Составляем таблицу:
|
| 
| –2 | 
| 
| 
| ||
|
| – | + | – | + | |||
|
| 
| 
| 
| 
|
|
| 
|
| min
| max
| min
|
- Переходим к определению асимптот графика. Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет. По теореме 21 у многочлена степени выше первой наклонных асимптот также нет.
- Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба:
; 
, 
–точки, подозрительные на перегиб.
Составляем таблицу:
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
| + | – | + | ||
|
|
| 
|
|
|
|
| перегиб | перегиб |
- Построим теперь график функции:
2) Рассмотрим функцию .
-
. - Определяем интервалы возрастания и убывания функции и локальные экстремумы функции:
; – критическая точка. Составим таблицу:
|
| 
|
|
|
| |
|
| + | + | – | – | |
|
| 
| –1 | 
|
| |
| max
|
- Переходим к определению асимптот графика. По теореме 21 вертикальные асимптоты порождаются корнями знаменателя дробно-рациональной функции. Таким образом, и — вертикальные асимптоты графика функции . Точно так же, как в пунктах 1) и 2) задачи №4, показывается, что наклонная асимптота имеет вид .
- Определим интервалы выпуклости и точки перегиба:
точек перегиба нет. Построим таблицу:
|
|
| 
|
|
|
| + | – | + |
|
|
|
|
|
- Построим теперь график функции:
Решение задачи №7
Для того чтобы найти частную производную функции 
по переменной , фиксируем переменную и дифференцируем 
как функцию одной переменной . Наоборот, для того чтобы найти частную производную функции по переменной , фиксируем переменную и дифференцируем как функцию одной переменной .
1) .
Имеем:
 ;
|  .
|
2) .
Имеем:
 ;
|  .
|
3) 
Имеем:
 ;
|  .
|
Решение задачи №8
Для того чтобы найти градиент функции 
в точке 
, необходимо: