Геометрическая задача на доказательство
1. C 5 № 51. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
2. C 5 № 77. 
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, чтоВFDЕ — параллелограмм.
3. C 5 № 103. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BEтоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
4. C 5 № 129. 
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
5. C 5 № 155. 
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и Млежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
6. C 5 № 181. 
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
7. C 5 № 207. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что отрезки ВF и DE параллельны.
8. C 5 № 311241. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OLравны.
9. C 5 № 311251. В параллелограмме KLMN точка Е — середина стороны LM. Известно, чтоEK = EN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
10. C 5 № 311258. 
В окружности с центром 
проведены две равные хорды 
и 
. На эти хорды опущены перпендикуляры 
и 
. Докажите, что и равны.
11. C 5 № 311259. В параллелограмме 
точка 
— середина стороны 
. Извествно, что 
= 
.
Докажите, что данный параллелограмм прямоугольник.
12. C 5 № 311260. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Извествно, чтоEC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
13. C 5 № 311549. В параллелограмме точка 
— середина стороны 
. Известно, что 
. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
14. C 5 № 311555. В параллелограмме точка 
— середина стороны . Известно, что 
. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
15. C 5 № 311561. На стороне 
треугольника 
отмечены точки 
и так, что 
. Докажите, что если 
, то 
.
16. C 5 № 311567. На медиане 
треугольника 
отмечена точка . Докажите, что если 
, то 
.
17. C 5 № 311573. В параллелограмме проведены высоты 
и 
. Докажите, что 
подобен 
. 
18. C 5 № 311602. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
19. C 5 № 311603. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.
20. C 5 № 311604. Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны. 
21. C 5 № 311605. Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны. 
22. C 5 № 311606. Два равных прямоугольника имеют общую вершину (см. рис.). Докажите, что площади треугольников 
и 
равны. 
23. C 5 № 311607. Дана равнобедренная трапеция . Точка лежит на основании 
и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что — середина основания .
24. C 5 № 311608. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
25. C 5 № 311663. В параллелограмме проведены высоты и . Докажите, что 
подобен 
. 
26. C 5 № 311665. Докажите, что у равных треугольников и 
биссектрисы, проведённые из вершины 
и 
, равны.
27. C 5 № 311667. Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.
28. C 5 № 311669. В треугольнике угол 
равен 36°, 
— биссектриса. Докажите, что треугольник 
— равнобедренный.
29. C 5 № 311696. В параллелограмме точка — середина стороны . Известно, что 
. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
30. C 5 № 311773. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A,C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABCлежат на одной окружности.
31. C 5 № 311829. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности Oи центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°
32. C 5 № 311861. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности Oи точка пересечения высот H лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°
33. C 5 № 311925. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CDсоответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.
34. C 5 № 311969. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
35. C 5 № 314810. В параллелограмме KLMN точка A — середина стороны LM. Известно, чтоKA = NA. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
36. C 5 № 314812. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, чтоKC = KD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
37. C 5 № 314822. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
38. C 5 № 314830. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.
39. C 5 № 314849. 
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
40. C 5 № 314856. 
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK— равносторонний.
41. C 5 № 314881. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны CD. Известно, чтоEA = EB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
42. C 5 № 314886. В параллелограмме KLMN точка B — середина стороны LM. Известно, чтоBK = BN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
43. C 5 № 314895. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, чтоEC = ED . Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
44. C 5 № 314900. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны KN. Известно, чтоEL = EM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
45. C 5 № 314908. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD. Известно, чтоMA = MB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
46. C 5 № 314911. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны LM. Известно, чтоEK = EN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
47. C 5 № 314915. В параллелограмме KLMN точка A — середина стороны KN. Известно, чтоAL = AM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
48. C 5 № 314919. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AB. Известно, чтоMC = MD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
49. C 5 № 314922. В параллелограмме KLMN точка B — середина стороны KN. Известно, чтоBL = BM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
50. C 5 № 314925. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны CD. Известно, чтоKA = KB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
51. C 5 № 314939. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BOC.
52. C 5 № 314940. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKB.
53. C 5 № 314948. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника COD.
54. C 5 № 314949. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CMD.
55. C 5 № 314962. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BMC.
56. C 5 № 314974. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BKC.
57. C 5 № 314977. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD.
58. C 5 № 314978. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CKD.
59. C 5 № 314982. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMB.
60. C 5 № 314987. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMD.
61. C 5 № 315008. 
В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) точкиM, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равнобедренный.
62. C 5 № 315010. 
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
63. C 5 № 315022. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точкиD и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
64. C 5 № 315030. 
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что ВMKN — ромб.
65. C 5 № 315033. 
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что отрезки ВF и DЕ равны.
66. C 5 № 315039. 
Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.
67. C 5 № 315041. 
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что отрезки ВF и DЕ параллельны.
68. C 5 № 315047. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.
69. C 5 № 315051. 
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что АMNK — ромб.
70. C 5 № 315062. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точкиD и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
71. C 5 № 315075. 
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём СF = АM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
72. C 5 № 315085. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точкиD и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углыАDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
73. C 5 № 315087. 
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, СF = АM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
74. C 5 № 315096. 
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что треугольники BEFиDFE равны.
75. C 5 № 315110. 
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём BF = DM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
76. C 5 № 315119. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точкиD и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углыАEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
77. C 5 № 315120. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
78. C 5 № 315124. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.