VII. Как избежать оборотней и другие полезные практические советы
Эта глава посвящена не столько занимательным аспектам логики, сколько ее практическим приложениям. Во многих житейских ситуациях полезный совет был бы как нельзя кстати. Учитывая это, я обстоятельно, шаг за шагом научу вас: A) как избежать оборотней в лесу; Б) как выбрать невесту; B) как защищать себя на суде; Г) как жениться на дочери короля.
Разумеется, я не могу поручиться, что вам непременно представится случай убедиться, насколько полезны мои советы, но как мудро объяснил Алисе Белый Рыцарь, нужно быть готовым ко всему!
А. Как вести себя в лесу, где водятся оборотни
Предположим, что вы находитесь в лесу, каждый обитатель которого либо рыцарь, либо лжец. (Напомним, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.) Кроме того, в лесу водятся оборотни, имеющие на редкость неприятную привычку иногда превращаться в волков и пожирать людей. Оборотень может быть либо рыцарем, либо лжецом.
88.
Вы берете интервью у трех обитателей леса A, B, C. Известно, что ровно один из них оборотень. В беседе с вами они заявляют:
A: C — оборотень.
B: Я не оборотень.
C: По крайней мере двое из нас лжецы.
Наша задача состоит из двух частей.
а) Кто оборотень: рыцарь или лжец?
б) Если бы вам предстояло выбрать одного из трех обитателей леса в попутчики и вопрос о том, не окажется ли ваш избранник оборотнем, волновал бы вас сильнее, чем вопрос, не окажется ли он лжецом, то на ком из трех вы бы остановили свой выбор?
89.
Вы снова берете интервью у трех обитателей леса A, B и C. Известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец и среди них имеется ровно один оборотень. В беседе с вами они заявляют:
A: Я оборотень.
B: Я оборотень.
C: Не более чем один из нас рыцарь.
Проведите полную классификацию A, B и C.
90.
В этой и в двух следующих задачах мы снова встречаем трех обитателей леса A, B, C, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Заявления делают только двое из них: A и B. В их высказываниях слово «нас» относится ко всем трем героям (к A, B и C), а не только к A и B.
Предположим, что A и B заявили следующее:
A: По крайней мере один из нас рыцарь.
B: По крайней мере один из нас лжец.
Известно, что по крайней мере один из них оборотень и ни один не является одновременно рыцарем и оборотнем. Кто оборотень?
91.
На этот раз A и B сделали следующие заявления:
A: По крайней мере один из нас лжец.
B: C — рыцарь.
Известно, что ровно один из них оборотень и что он рыцарь. Кто оборотень?
92.
В этой задаче A и B заявили следующее:
A: По крайней мере один из нас лжец.
B: C — оборотень.
И в этой задаче известно, что ровно один из них оборотень и что он рыцарь. Кто оборотень?
93.
В этой задаче известно, что из трех обитателей леса ровно один оборотень, что он рыцарь, а два остальных — лжецы. Заявление сделал только B: «С — оборотень».
Кто оборотень?
94.
В этой задаче, отличающейся изящной простотой, лишь два действующих лица: A и B. Лишь одно из них оборотень. A и B заявили следующее:
A: Оборотень — рыцарь.
B: Оборотень — лжец.
Кого из них вы выбрали бы себе в попутчики?
Б. Как выбрать или завоевать невесту
95. Как ее убедить?
Предположим, что вы один из жителей острова рыцарей и лжецов. Вы полюбили девушку и хотите жениться на ней. Но у вашей избранницы странные вкусы: по каким-то непонятным причинам она не желает выходить замуж за рыцаря и прочит себя в жены только лжецу. При этом ей подавай не бедного, а непременно богатого лжеца (для удобства мы будем предполагать, что все лжецы на острове делятся либо на богатых, либо на бедных). Предположим, что вы богатый лжец. Вам разрешается сказать избраннице лишь одну фразу. Как одной-единственной фразой убедить вашу возлюбленную, что вы богатый лжец?
96.
Предположим теперь, что ваша девушка мечтает выйти замуж только за богатого рыцаря. Как одной-единственной фразой убедить ее, что вы богатый рыцарь?
97. Как выбрать невесту?
На этот раз вы переноситесь на остров рыцарей и лжецов. Каждая обитательница этого острова — либо рыцарь, либо лжец. Вы влюбляетесь в одну, из прекрасных островитянок — девушку по имени Элизабет — и хотите жениться на ней. Но вам хотелось бы знать, кто она (так как вы, естественно, не хотели бы жениться на лжеце). Если бы вам разрешили задать ей хоть один вопрос, то все было бы очень просто. Но на острове существует древнее табу, запрещающее мужчине заговаривать с любой островитянкой до тех пор, пока она не станет его женой. К счастью, у Элизабет есть брат. Он, как и все островитяне, либо рыцарь, либо лжец (брат и сестра не обязательно однотипны: один из них может быть рыцарем, а другой — лжецом). Вам разрешается задать брату один вопрос, на который можно ответить либо «да», либо «нет».
Придумайте такой вопрос, чтобы, услышав ответ, вы бы могли с уверенностью сказать, кто такая Элизабет: рыцарь или лжец. Какой вопрос вы бы задали?
98. Как выбрать невесту на острове Бахава?
На этот раз вы переноситесь на остров Бахава, где живут рыцари, всегда говорящие только правду, лжецы, которые всегда лгут, и нормальные люди, говорящие то правду, то ложь. Напомним, что на острове Бахава женщины во всем пользуются равными правами с мужчинами. Среди женщин, как и среди мужчин, имеются рыцари, лжецы и нормальные люди. На вас как на иностранца не распространяются законы острова и, в частности, королевский указ, повелевающий рыцарю вступать в брак только с рыцарем, а лжецу — только с лжецом: вы вольны выбирать себе в жены островитянку, кем бы она ни была.
Предположим, что вам надлежит выбрать себе в невесты одну из трех сестер A, B, C. Известно, что одна из них рыцарь, одна — лжец и одна — нормальный человек. Известно также, что нормальная сестра (нечего сказать, в хорошенькое положение вы попали!) — оборотень, а две другие сестры не оборотни. Предположим, что вы не откажетесь взять в жены лжеца (или рыцаря), но жениться на оборотне даже для такого покладистого человека, как вы, — это уж слишком! Чтобы определить, кто из сестер кто, вам разрешается задать им один-единственный вопрос, на который можно ответить либо «да», либо «нет».
Какой вопрос вы бы задали?
В. Да, вы не виновны, но как это доказать?
Теперь мы переходим к серии особенно увлекательных задач. Действие во всех этих задачах происходит на острове рыцарей, лжецов и нормальных людей. Вы сами также один из уроженцев и постоянных обитателей этого острова.
На острове совершено преступление. По совершенно непонятным соображениям подозрения пали на вас. Вы задержаны и предстали перед судом. На судебном заседании вам разрешают произнести одну-единственную фразу. Ваша задача — убедить присяжных в том, что вы не виновны.
99.
Предположим, что преступник — лжец (о чем известно суду) и вы также лжец (о чем суду не известно), но тем не менее не виновны в совершении инкриминируемого вам преступления. Вам предоставляется право произнести одну-единственную фразу. Ваша цель — убедить присяжных не только в том, что вы не лжец, но и в том, что вы не виновны. Что бы вы сказали?
100.
Предположим, что вы находитесь в такой же ситуации, как и в предыдущей задаче, с единственным отличием: теперь вы виновны. Какое заявление вы бы сделали на суде, чтобы убедить присяжных (людей вполне разумных и способных рассуждать логично) в своей невиновности?
101.
В этой задаче мы будем предполагать, что преступник — рыцарь. (Наше допущение внутренне непротиворечиво: чтобы совершить преступление, вовсе не обязательно лгать.) Предположим также, что вы рыцарь (о чем присяжным не известно), но не виновны в совершении преступления. Что бы вы заявили на суде?
102.
Эта задачка потруднее. Предположим, что преступник — не нормальный человек, то есть либо рыцарь, либо лжец. Вы не виновны. Какое высказывание, которое могло бы исходить и от рыцаря, и от лжеца, и от нормального человека, вы бы произнесли на суде, чтобы убедить присяжных в своей невиновности?
103.
А вот гораздо более простая задача. Известно, что преступник — не нормальный человек. Вы не преступник, но вполне нормальны. Какое высказывание, которое не могло бы исходить ни от виновного рыцаря, ни от лжеца, вы бы произнесли на суде, чтобы убедить присяжных в своей невиновности?
104.
Эта задача поинтереснее. Известно, что преступник — не нормальный человек. Предположим, что 1) вы не виновны и что 2) вы не лжец.
Можете ли вы одним-единственным высказыванием убедить присяжных в этих двух фактах?
105.
Эта задача в известном смысле «двойственна» предыдущей. Известно, что преступник — не нормальный человек, вы не виновны, но не рыцарь. Предположим, что по каким-то известным вам соображениям вы не прочь приобрести репутацию лжеца или нормального человека, но с презрением относитесь к рыцарям. Могли бы вы одним-единственным высказыванием убедить присяжных в том, что вы не виновны, но не рыцарь?
Г. Как жениться на дочери короля?
Наконец-то мы добрались до темы, которую вы все ожидали с нетерпением!
106.
Вы, житель острова рыцарей, лжецов и нормальных людей, влюблены в дочь короля Маргозиту и хотите жениться на ней. Король не желает, чтобы его дочь вышла замуж за нормального человека, и дает ей отеческие наставления: «Поверь мне, дорогая, тебе действительно не следует выходить замуж за нормального человека. Нормальные люди капризны, переменчивы, на них ни в чем нельзя положиться. С ними никогда не знаешь, где находишься. Один день он говорит тебе правду, на другой день лжет. Что в этом хорошего? Рыцарь же надежен, как скала. С ним всегда знаешь, на чем стоишь. С лжецом тоже чувствуешь себя вполне уверенно: что бы он ни сказал, стоит тебе лишь заменить его высказывание противоположным, и ты знаешь, как обстоит дело в действительности. Я считаю, что у человека должны быть какие-то принципы, которым он неукоснительно следует. Если человек видит высшее наслаждение в том, чтобы говорить правду, пусть говорит правду. Если считает, что ложь превыше всего, пусть лжет. А что представляют собой эти добропорядочные нормальные люди? Так себе: серединка на половинку, ни правды, ни лжи. Нет, они не для тебя!»
Предположим теперь, что вы не нормальный человек (и поэтому имеете шанс обрести в жены дочь короля). Чтобы получить согласие короля на ваш брак с его дочерью, вам необходимо убедить его в том, что вы не нормальный человек. Король дает вам аудиенцию, во время которой вы можете произнести сколько угодно высказываний. Задача подразделяется на две части.
а) Сколько истинных высказываний понадобится вам, чтобы убедить короля в том, что его будущий зять — не нормальный человек?
б) Сколько ложных высказываний понадобится вам, чтобы убедить короля в том, что его будущий зять — не нормальный человек?
(Подчеркнем, что и в том и в другом случае речь идет о минимальном числе высказываний.)
107.
На другом острове рыцарей, лжецов и нормальных людей король придерживался противоположных взглядов и дал дочери иные отеческие наставления: «Дорогая, я не хочу, чтобы ты вышла замуж за какого-нибудь рыцаря или лжеца. Мне хотелось бы, чтобы твой муж был солидным нормальным человеком с хорошей репутацией. Тебе не следует выходить замуж за рыцаря, потому что все рыцари — ханжи. Тебе не следует выходить замуж и за лжеца, потому что все лжецы вероломны. Нет, что ни говори, а добропорядочный нормальный человек был бы тебе как раз под пару!»
Предположим, что вы житель этого острова и нормальный человек. Ваша задача — убедить короля в том, что вы нормальный человек.
а) Сколько истинных высказываний понадобится вам для этого?
б) Сколько ложных высказываний понадобится вам для той же цели?
(И в том и в другом случае речь идет о минимальном числе высказываний.)
108.
Перед вами более сложный вариант предыдущей задачи. Ее решение представляет собой альтернативу (хотя и чрезмерно сложную) решению предыдущей задачи, но, чтобы решить ее, одного лишь решения предыдущей задачи недостаточно.
Предположим, что вы житель острова рыцарей, лжецов и нормальных людей и сами нормальный человек. Король хочет, чтобы его дочь вышла замуж только за нормального человека, но требует доказательства исключительного остроумия и сообразительности от своего будущего зятя. Чтобы получить руку королевской дочери, вы должны в присутствии его величества произнести одно-единственное высказывание, которое удовлетворяло бы двум следующим условиям:
1) Оно должно убедить короля в том, что вы нормальный человек.
2) Король не должен знать, истинно или ложно ваше высказывание.
Как это сделать?
Решения
88. C — либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что C — рыцарь. Тогда по крайней мере двое из трех островитян — лжецы. Следовательно, ими должны быть A и B. Отсюда мы заключаем, что B — оборотень (так как, по его словам, он не оборотень, а по доказанному B — лжец). Итак, если C — рыцарь, то оборотень — лжец (так как им должен быть B). Предположим теперь, что C — лжец. Тогда неверно, что по крайней мере два из трех островитян — лжецы, поэтому среди них есть самое большее один лжец. Этим лжецом должен быть C. Следовательно, и A, и B — рыцари. Так как A — рыцарь и утверждает, что C — оборотень, то C действительно оборотень. Таким образом, и в этом случае оборотень — лжец (а именно C).
Следовательно, независимо от того, рыцарь ли C или лжец, оборотень — лжец (хотя в каждом случае речь идет о другом лице). Итак, ответ на первый вопрос гласит: оборотень — лжец. Кроме того, мы доказали, что оборотнем может быть либо B, либо C. Следовательно, если вы хотите выбрать себе попутчика, который заведомо не был бы оборотнем, то вам следует остановить свой выбор на A.
89. Докажем сначала, что C — рыцарь. Предположим, что C был бы лжецом. Тогда его первое высказывание было бы ложным, поэтому по крайней мере двое из трех островитян были бы рыцарями. Это означало бы, что A и B оба должны быть рыцарями (так как по предположению C — лжец). Следовательно, их высказывания были бы истинными, и они оба вопреки условиям задачи были бы оборотнями. Итак, C — рыцарь. Тогда ровно двое из трех лжецы. Ими должны быть A и B. А поскольку их высказывания ложны, то ни A, ни B не оборотни. Следовательно, оборотнем должен быть C. Таким образом, C — рыцарь и оборотень, A и B — лжецы, и ни один из них не оборотень.
90. Если бы B был лжецом, то по крайней мере один из трех островитян действительно был бы лжецом. Но тогда его высказывание было бы истинным, и мы пришли бы к противоречию, так как лжецы не говорят правды. Следовательно, B — рыцарь. Тогда высказывание A истинно, и A также должен быть рыцарем. Таким образом, и A, и B — рыцари. Так как B — рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому один из трех — рыцарь. Им должен быть C. Следовательно, он и только он оборотень.
91. A должен быть рыцарем по тем же самым причинам, по которым в предыдущей задаче был рыцарем B, а именно: если бы A был лжецом, то было бы истинным высказывание о том, что по крайней мере один из трех лжец, и мы пришли бы к противоречию (высказывание лжеца было бы истинным). Так как A — рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому по крайней мере один из трех действительно лжец. Если бы B был рыцарем, то (в силу высказывания B) C также был бы рыцарем, и все трое оказались бы рыцарями. Но в истинном высказывании A утверждается, что по крайней мере один из трех — лжец. Следовательно, B должен быть лжецом. А так как B утверждает, что C — рыцарь, то C в действительности лжец. Таким образом, A — единственный рыцарь. Следовательно, A — оборотень.
92. Из высказывания A следует, что A должен быть рыцарем и по крайней мере один из трех должен быть лжецом. Если бы B был рыцарем, то C был бы оборотнем и, значит, еще одним рыцарем, но тогда трое были бы рыцарями. Следовательно, B — Но тогда C не оборотень. Поскольку известно, что оборотень — рыцарь, то B также не может быть оборотнем. Значит, оборотень A.
93. Если бы B был рыцарем, то C был бы оборотнем и рыцарем, то есть рыцарей было бы двое. Следовательно, B — лжец, а C не оборотень. Кроме того, B, будучи лжецом, не оборотень. Значит, оборотень A.
94. Вам следовало бы выбрать A. Предположим, что B — рыцарь. Тогда его высказывание истинно. Следовательно, оборотень — лжец, поэтому B не может быть оборотнем. Предположим, что B — лжец. Тогда его высказывание ложно, а это означает, что оборотень в действительности рыцарь. Следовательно, и в этом случае B не может быть оборотнем.
95. Все, что вам нужно; сказать: «Я бедный лжец». Из этого высказывания ваша возлюбленная сразу же заключит, что вы не рыцарь (поскольку рыцарь не стал бы лгать и утверждать, что он бедный лжец). Следовательно, вы должны быть лжецом, а так как ваше высказывание ложно, то вы не бедный лжец. Но вы лжец, поэтому вы должны быть богатым лжецом.
96. Вам нужно сказать: «Я не бедный рыцарь». Услыхав такое признание, ваша возлюбленная стала бы рассуждать следующим образом. Если бы вы были лжецом, то вы действительно не были бы бедным рыцарем. Следовательно, ваше высказывание было бы истинным. Это означало бы, что вы, будучи лжецом, высказали истинное утверждение. Возникшее противоречие показывает, что вы рыцарь. Но тогда ваше высказывание истинно, и вы не бедный рыцарь. А поскольку вы рыцарь, то вы должны быть богатым рыцарем.
97. Эта задача имеет несколько решений. Простейшее из них состоит в следующем. Вы спрашиваете у брата вашей избранницы: «Вы и Элизабет однотипны?» Если он ответит «да», то Элизабет должна быть рыцарем независимо от того, будет ли ее брат рыцарем или лжецом. Если же он ответит «нет», то Элизабет должна быть лжецом независимо от того, кто ее брат. Докажем это.
Предположим, что на ваш вопрос брат Элизабет ответил «да». Мы знаем, что ее брат — либо рыцарь, либо лжец. Если он рыцарь, то его высказывание, утверждающее, что Элизабет рыцарь, истинно. Следовательно, Элизабет также должна быть рыцарем. Если брат Элизабет — лжец, то его высказывание ложно. Следовательно, он и Элизабет разнотипны, а это означает, что Элизабет и в этом случае должна быть рыцарем. Итак, если Артур отвечает вам «да», то Элизабет рыцарь.
Предположим, что Артур отвечает «нет». Если он рыцарь, то говорит правду. Следовательно, он и Элизабет разнотипны, поэтому Элизабет должна быть лжецом. Если же он лжец, то его высказывание ложно. Тогда Элизабет в действительности однотипна с ним, а следовательно, и в этом случае должна быть лжецом. Итак, если Артур отвечает вам «нет», то Элизабет — лжец.
98. Эта задача также допускает несколько решений. Простейшее и наиболее изящное из известных мне решений состоит в том, чтобы, выбрав одну из сестер (например, A), спросить у нее: «В по рангу ниже C?»[1]
Предположим, что A отвечает «да». Тогда вы выбираете себе в невесты B, рассуждая при этом следующим образом. Предположим, что A — рыцарь. Тогда B по рангу действительно ниже C. Следовательно, B — лжец, а сестра C — нормальный человек. В этом случае B не оборотень (так как оборотень C). Предположим, что A — лжец. Тогда B в действительности по рангу выше C. Это означает, что B — рыцарь, а C — нормальный человек. Следовательно, и в этом случае B — не оборотень. Если A — нормальный человек, То B заведомо не оборотень, так как оборотень A. Итак, если A отвечает на ваш вопрос «да», то независимо от того, будет ли она рыцарем или лжецом, вам следует выбрать себе в невесты сестру B.
Если бы A ответила «нет», то ее ответ был бы эквивалентен утверждению, что C по рангу ниже B. В этом случае вам следовало бы выбрать себе в невесты сестру C.
99. Все подозрения с вас могло бы снять одно-единственное высказывание: «Я виновен». Вы, будучи лжецом, могли бы сделать такое заявление на суде, поскольку оно ложно, и оно сняло бы с вас подозрения, так как присяжные, искушенные в логике, рассуждали бы следующим образом. Если бы вы действительно были виновны, то вы были бы лжецом (так как известно, что преступник — лжец). Но тогда вы, будучи лжецом, высказали бы истинное утверждение. Таким образом, предположение о том, что вы виновны, приводит к противоречию. Следовательно, вы не виновны.
Приведенное нами рассуждение присяжных может служить типичным примером рассуждения от противного (ложность утверждения доказывается тем, что высказанный тезис доводится до нелепости, отсюда латинское название этого способа доказательства reductio ad absurdum — приведение к нелепости). Присяжные могли бы прийти к тому же выводу и более прямым путем, рассуждая следующим образом. Вы либо лжец, либо не лжец (напомним, что присяжным не известно, лжец вы или не лжец). Если вы лжец, то ваше высказывание ложно. Следовательно, вы не виновны. Если вы не лжец, то вы заведомо не виновны, так как преступник — лжец.
100. Убедить присяжных одним-единственним высказыванием в том, что вы не виновны, невозможно. Если после того, как вы сделали свое заявление, присяжные могли бы, логически рассуждая, прийти к выводу, что вы не виновны, то (поскольку они люди умные и строили свои рассуждения по всем правилам логики) это означало бы, что вы действительно не виновны вопреки условию задачи (по предположению вы виновны в совершении преступления).
101. Эта задача в известном смысле «двойственна» задаче 99 (и даже несколько проще той). Вам необходимо лишь заявить на суде: «Я не виновен». Услышав ваше заявление, присяжные стали бы рассуждать следующим образом. Если вы рыцарь (о чем они не знают), то ваше высказывание истинно. Следовательно, вы не виновны. Если же вы не рыцарь, то вы опять-таки не виновны, так как по имеющимся у присяжных сведениям преступник — рыцарь.
102. Одно из решений состоит в том, что вы должны выступить на суде с заявлением: «Либо я рыцарь и не виновен, либо я лжец и виновен». Сформулируем ваше высказывание несколько проще: «Я либо невиновный рыцарь, либо виновный лжец». Выслушав подобное заявление, присяжные принялись бы рассуждать следующим образом.
Первый шаг. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание истинно. Следовательно, он либо невиновный рыцарь, либо виновный лжец. Быть виновным рыцарем он не может, так как он не лжец. Значит, он невиновный рыцарь. Следовательно, он не виновен.
Второй шаг. Предположим, что он лжец. Тогда его заявление ложно. Следовательно, он ни невиновный рыцарь, ни виновный лжец. В частности, он не может быть виновным лжецом. Но он лжец. Следовательно, он невиновный лжец и, значит, не виновен.
Третий шаг. Если он нормальный человек, то он заведомо не виновен, так как преступник — не нормальный человек.
103. Эта задача решается очень просто. Вам нужно заявить на суде: «Я лжец». Ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать такое утверждение. Следовательно, вы нормальный человек и, значит, не виновны.
104. Вы могли бы сказать: «Я не виновный рыцарь». Присяжные, выслушав ваше признание, стали бы рассуждать следующим образом.
Первый шаг. Предположим, что он (то есть вы) был бы лжецом. Тогда он не был бы рыцарем и, следовательно, не мог бы быть виновным рыцарем, поэтому его высказывание было бы истинным. Но это невозможно, так как лжецы не высказывают истинных утверждений. Следовательно, он не может быть лжецом.
Второй шаг. Нам известно, что он либо рыцарь, лицо нормальный человек. Если он нормальный человек, то он не виновен. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание истинно. Следовательно, он не может быть виновным рыцарем. Но он рыцарь. Значит, он должен быть невиновным рыцарем.
Следует заметить, что вы могли бы сделать на суде и другие (по форме, но эквивалентные по существу) заявления, например «Либо я не рыцарь, либо я не виновен», «Если я рыцарь, то я не виновен».
105. Вы могли бы сказать: «Я виновный лжец». Выслушав ваше заявление, присяжные стали бы рассуждать следующим образом: «Ясно, что он не рыцарь. Значит, он либо нормальный человек, либо лжец. Если он нормальный человек, то он не виновен. Предположим, что он лжец. Тогда его высказывание ложно, и он может быть виновным лжецом. Следовательно, он невиновный лжец».
106. Любого числа высказываний недостаточно, чтобы убедить короля в вашей ненормальности. Действительно, любые ваши высказывания, сколько бы их ни было, могли бы принадлежать нормальному человеку, так как нормальный человек высказывает и истинные, и ложные утверждения. Следовательно, вам не удастся жениться на дочери этого короля! Жаль! Придется вам попытать счастья на следующем острове.
107. И в том и в другом случае достаточно одного высказывания. Короля могло бы убедить истинное высказывание «Я не рыцарь» (такое высказывание не могло бы принадлежать ни рыцарю, ни лжецу) и ложное высказывание «Я лжец».
108. В связи с этой задачей я хотел бы заметить, что если вы выскажете первое утверждение, то король узнает, что хотя вы и нормальный человек, но только что вы высказали истинное утверждение. Если вы выскажете второе утверждение, то король узнает, что хотя вы и нормальный человек, но только что вы высказали ложное утверждение.
Выберите на свое усмотрение любое утверждение, истинность или ложность которого не известна королю, например утверждение, что у вас в кармане ровно 11 долларов. Свое утверждение вы могли бы высказать в такой форме: «Либо я нормальный человек и у меня ровно 11 долларов в кармане, либо я лжец».
Такое утверждение не могло бы принадлежать лжецу (потому что утверждение, в котором о лжеце говорится, что он либо нормальный человек, у которого 11 долларов в кармане, либо лжец, истинно). Такое утверждение не могло бы принадлежать и рыцарю (рыцарь не может быть ни нормальным человеком с 11 долларами в кармане, ни лжецом). Следовательно, король узнает, что вы нормальный человек, но не сможет узнать, истинно выше высказывание или ложно, пока ему не станет известно, сколько денег у вас в кармане.
VIII. Логические задачи
Преамбула
Многие из задач в этой главе содержат так называемые условные высказывания, то есть сложные высказывания вида «Если P истинно, то Q истинно», где P и Q — некоторые высказывания. Прежде чем приступить к решению задач этого типа, необходимо выяснить, какие неоднозначности могут встретиться в истолковании условных высказываний. С одними фактами согласятся все, по поводу других могут возникнуть значительные разногласия.
Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим следующее высказывание:
Если Джон виновен, то его жена виновна. (1)
Всякий согласится с тем, что если Джон виновен и если высказывание (1) истинно, то жена Джона также виновна.
Предположим теперь, что жена Джона виновна, но не известно, виновен Джон или не виновен. Как, по-вашему, будет ли в этом случае высказывание (1) истинно или ложно? Не считаете ли вы, что независимо от того, виновен Джон или не виновен, его жена виновна? Может быть, вы предпочитаете выразить свою мысль иначе: если Джон виновен, то его жена виновна, и если Джон не виновен, то его жена виновна?
Примеры такого словоупотребления мы находим в литературе. В рассказе Киплинга «Рики-тики-тави» кобра говорит перепуганному семейству: «Если вы двинетесь с места, я укушу, и если вы не двинетесь с места, я укушу». В переводе на более привычный язык это означает просто-напросто: «Я укушу». О наставнике секты дзен Токусане легенда рассказывает, что на все вопросы (и «невопросы») он отвечал ударами своего посоха. Ему принадлежит знаменитое изречение: «Тридцать ударов, если тебе есть что сказать, тридцать ударов, если тебе нечего сказать».
Итак, мы с трогательным единодушием заключаем, что если высказывание Q истинно, то условное высказывание «Если P, то Q» (так же как и условное высказывание «Если не P, то Q») истинно.
Наиболее спорный вопрос состоит в том, истинно или ложно условное высказывание «Если P, то Q», когда оба высказывания P и Q ложны. Обратимся к нашему примеру. Можно ли считать высказывание (1) истинным, если и Джон и его жена не виновны? К этому жизненно важному вопросу мы вскоре вернемся.
С интересующим, нас вопросом тесно связан другой. Мы уже пришли к единому мнению относительно того, если Джон виновен, а его жена не виновна, то высказывание (1) должно быть ложным. Верно ли обратное утверждение? Иначе говоря, следует ли из ложности высказывания (1), что Джон должен быть виновен, а его жена невиновна? Ту же мысль можно сформулировать и по-другому: правильно ли утверждать, что высказывание (1) ложно лишь в том случае, если Джон виновен, а его жена не виновна? Если связку «если…, то…» понимать так, как это делают большинство логиков, математиков и других ученых, то на наш вопрос следует ответить утвердительно. Мы также будем придерживаться общепринятого соглашения. Заключается оно в том, что если нам заданы любые два высказывания P и Q, то сложное высказывание «Если P, то Q» означает: «Не верно, что P истинно, а Q ложно» (не больше и не меньше). В частности, принятое соглашение означает, что если Джон и его жена не виновны, то высказывание (1) следует считать истинным.
Единственный случай, когда высказывание (1) ложно, может представиться, если Джон виновен, а его жена не виновна. Это условие заведомо не выполняется, если Джон и его жена не виновны. Иначе говоря, если Джон и его жена не виновны, то заведомо не верно, что Джон виновен, а его жена не виновна, поэтому высказывание (1) не может быть истинным.
Следующий пример еще более причудлив:
Если Конфуций родился в Техасе, то я Дракула. (2)
Высказывание (2) означает всего-навсего: «Не верно, что Конфуций родился в Техасе, и я не Дракула». Таким образом, высказывание (2) следует считать истинным.
К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны. Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе, а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула. Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.
Рассмотрим теперь любые два высказывания P, Q. Составим из них сложное высказывание.
Если P, то Q. (3)
Будем обозначать его P ⇒ Q (эту сокращенную запись принято читать либо как «если P, то Q», либо как «из P следует Q», либо «P влечет за собой Q», либо даже «P имплицирует Q»). Слово «следует» (и его синонимы) не слишком удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели, надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько необычном смысле: не верно, что P истинно и Q ложно. (В книге было «не верно, что P ложно и Q истинно», а это неправильно. — SStas)
Итак, относительно высказывания P ⇒ Q мы располагаем следующей информацией.
Факт 1. Если P ложно, то P ⇒ Q автоматически истинно.
Факт 2. Если Q истинно, то P ⇒ Q автоматически истинно.
Факт 3. Высказывание P ⇒ Q может быть ложно в том и только в том случае, если P истинно, а Q ложно.
Факт 1 иногда формулируют иначе: «Из ложного высказывания следует что угодно». Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: «Истинное высказывание следует из чего угодно».
Таблица истинности
Если заданы два высказывания P, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) P и Q истинны; 2) P истинно, Q ложно; 3) P ложно, Q истинно; 4) P и Q ложны.
В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание P ⇒ Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких — ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.
Случай 1: P и Q истинны. Так как Q истинно, то P ⇒ Q истинно (факт 2).
Случай 2: P истинно, Q ложно. Тогда P ⇒ Q ложно (факт 3).
Случай 3: P ложно, Q истинно. Тогда P ⇒ Q истинно (факт 1 или факт 2).
Случай 4: P ложно, Q ложно. Тогда P ⇒ Q истинно (факт 1).
Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:
(В «нормальной» таблице истинности вместо букв И и Л используют сокращения 0 — ложно и 1 — истинно — SStas)
Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда P истинно и Q истинно, высказывание P ⇒ Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если P истинно, Q ложно, то P ⇒ Q истинно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке — что если P ложно и Q ложно, то P ⇒ Q истинно.
Заметим, что P ⇒ Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.
Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания «Если P, то Q», достаточно, приняв высказывание P за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки P следует заключение Q, то высказывание «Если, то Q» истинно.
В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт 4.
PQP⇒Q1ИИИ2ИЛЛ3ЛИИ4ЛЛИ