Б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной
Пи. Давайте вернемся к рожденной доказательством теореме «Все простые многогранники с односвязными гранями будут эйлеровыми». Эта формулировка может ввести в заблуждение. Нужно так: «Все простые объекты односвязными гранями будут эйлеровыми».
Гамма. Почему?
Пи. Первая формулировка заставляет думать, что класс простых многогранников, встречающихся в этой теореме, является подклассом класса «многогранников» наивной догадки.
Сигма. Конечно, класс простых многогранников будет подклассом многогранников. Понятие «простого многогранника» сужает первоначальный широкий класс многогранников, ограничивая их теми, для которых выполняется первая лемма нашего доказательства. Понятие «простого многогранника с односвязными гранями» указывает на дальнейшее сужение первоначального класса…
Пи. Нет! Первоначальный класс многогранников содержал только те многогранники, которые были простыми и грани которых были односвязными. Омега ошибался, когда говорил, что включение лемм уменьшает содержание[154].
Омега. Но разве каждое включение лемм не исключает контрапример?
Пи. Конечно, исключает; но контрапример был произведен расширением понятия.
Омега. Значит включение леммы сохраняет содержание, как и устранение монстров?
Пи. Нет. Включение леммы увеличивает содержание; устранение же монстров нет.
Омега. Что? Вы действительно хотите убедить меня, что включение леммы не только не уменьшает содержания, но даже, что оно увеличивает его? Что вместо сужения понятий оно их расширяет?
Пи. Совершенно верно. Послушайте. Был ли элементом первоначального класса многогранников глобус, на котором нарисована политическая карта?
Омега. Конечно, нет.
Пи. Но он сделался им после доказательства Коши. Потому что вы без малейшего затруднения можете выполнить на нем доказательство Коши – если только на нем нет кольцеобразных стран или озер[155].
Гамма. Это верно! Если вы надуете многогранник в шар и измените ребра и грани, вы ничуть не помешаете выполнению доказательства – пока искажение не изменит числа вершин, ребер и граней.
Сигма. Я вижу, что вы хотите сказать. Тогда рожденный доказательством «простой многогранник» будет не только сужением, спецификацией, но также и обобщением, распространением наивного «многогранника»[156]. Идея такого обобщения понятия многогранника, чтобы оно могло включить смятые, криволинейные «многогранники» с искривленными гранями, вряд ли могла прийти кому-нибудь в голову до доказательства Коши; даже если бы это случилось, то идея была бы отброшена как причуда. Но теперь это является естественным обобщением, так как операции нашего доказательства могут быть для них истолкованы так же хорошо, как и для обыкновенных простых многогранников с прямыми ребрами и плоскими гранями[157].
Пи. Хорошо. Но вам придется сделать еще один шаг. Рожденные доказательством понятия не представляют ни «спецификаций», ни «обобщений» наивных понятий: напор доказательств и опровержений на наивные понятия еще более революционен, чем это – они полностью уничтожают основные наивные понятия я заменяют их понятиями, рожденными доказательством[158]. Наивный термин «многогранник», даже после его расширения опровергателями, обозначал нечто похожее на кристалл, тело с «плоскими» гранями и прямыми ребрами. Идеи доказательства полностью проглотили и переварили это наивное понятие. В различных теоремах, рожденных доказательством, от этого наивного понятия ничего не осталось. Оно бесследно исчезло. Вместо этого каждое доказательство выявляет его характерные, рожденные доказательством понятия, которые касаются возможностей быть растянутым, надутым, фотографированным, проектированным и тому подобное. Старая задача исчезла, появились новые. После Колумба не следует удивляться, если человек не решает ту задачу, которую он поставил себе для решения.
Сигма. Таким образом «теория твердых тел», – первоначальное «наивное» царство эйлеровой догадки, – исчезает, новая переработанная догадка проявляется в проективной геометрии, когда ее доказал Жергонн, в аналитической топологии, когда ее доказал Коши, в алгебраической топологии, когда ее доказал Пуанкаре…
Пи. Совершенно верно. И теперь вы поймете, почему я не формулирую теоремы, как Альфа или Бета: «Все жергонновы многогранники являются эйлеровыми», «Все многогранники Коши являются эйлеровыми» и так далее, но скорее так: «Все жергонновы объекты являются эйлеровыми», «Все объекты Коши являются эйлеровыми» и так далее[159]. Таким образом, я не считаю возможным ссориться не только из-за точности наивных понятий, но также из-за истинности или ложности наивных догадок.
Бета. Но, конечно, мы можем сохранить термин «многогранник» для нашего излюбленного, рожденного доказательством термина, например, «объектов Коши»?
Пи. Если хотите, но помните, что ваш термин уже не обозначает более того, для обозначения чего он был выдуман, что наивное понимание исчезло и что теперь он употребляется…
Бета… для более общего, исправленного понятия!
Тета. Нет! Для совершенно отличного, нового понятия.
Сигма. Я думаю, что ваши взгляды парадоксальны!
Пи. Если под парадоксальным вы понимаете «мнение пока еще не общепризнанное»[160], и возможно несовместимое с некоторыми из ваших укоренившихся наивных идей, то не беспокойтесь: вам только придется ваши наивные идеи заменить парадоксальными. Это может быть способом «решения» парадоксов. Но какое частное мое мнение вы имеете в виду?
Сигма. Вы помните, мы нашли, что некоторые звездчатые многогранники являются эйлеровыми, другие же нет. Мы искали доказательства, которое было бы достаточно глубоким для объяснения эйлеровости как обыкновенных, так и звездчатых многогранников…
Эпсилон. У меня оно есть[161].
Сигма. Я знаю. Но для целей аргументации представим что у нас такого доказательства не имеется, но что в добавление к доказательству Коши для «обыкновенных» эйлеровых многогранников кто-то предлагает соответственное, но совершенно различное, доказательство для эйлеровых звездчатых многогранников. Захотели бы вы тогда, Ни, вследствие этих двух различных доказательств, предложить разбиение на два того, что мы ранее классифицировали как нечто единое? И захотели ли вы также объединить под одним именем две совершенно различные вещи только вследствие того, что кто-то нашел общее объяснение для некоторых из их свойств?
Пи. Конечно, я так бы и сделал. Ясно, что я не захотел бы назвать кита рыбой, или радио – шумовым ящиком (как могут назвать туземцы), но я не выхожу из себя, когда физик назовет стекло жидкостью. Действительно наивную классификацию прогресс заменяет теоретической классификацией, т.е. классификацией, рожденной теорией (доказательством или, если хотите, объяснением). И догадки, и понятия одинаково должны пройти через чистилище доказательств и опровержений. Наивные догадки и наивные понятия заменяются исправленными догадками (теоремами) и понятиями (рожденными доказательством или теоретическими), вырастающими из метода доказательств и опровержений. И как теоретические идеи и понятия вытесняют наивные идеи и понятия, так и теоретический язык вытесняет наивный[162].
Омега. В концу концов от наивной, случайной, чисто номинальной классификации мы придем к окончательной, истинной, реальной классификации, к совершенному языку[163].